Esercizio 2 - difficoltà: 1

Calcola il seguente limite

$$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{6-x}}$$

Soluzione:

Sostituiamo $x=3$ nella funzione e vediamo cosa succede

$$ \begin{aligned} & \frac{3-3}{\sqrt{3}-\sqrt{6-3}} \\ & = \frac{0}{\sqrt{3}-\sqrt{3}} \\ & = \frac{0}{0} \end{aligned} $$

Abbiamo quindi ottenuto una forma indeterminata (F.I.). Significa che devo usare qualche tecnica per trasformare la funzione in modo che non ci sia più una F.I. quando si fa il limite.

Avendo una differenza fra radici, uso il prodotto notevole $(\sqrt{A}-\sqrt{B})\cdot (\sqrt{A}+\sqrt{B}) = (\sqrt{A})^2- (\sqrt{B})^2 = A-B$.

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{6-x}} & = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{6-x}} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{6-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{6-x}} \\ & = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{6-x})}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{6-x})^2} \\ & = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3) \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{6-x})}{x-(6-x)} \\ & = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3) \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{6-x})}{x-6+x} \\ & = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3) \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{6-x})}{2x-6} \\ & = \lim_{x \to 3} \frac{\cancel{(x-3)} \cdot (\sqrt{x}+\sqrt{6-x})}{2 \cdot \cancel{(x-3)}} \\ & = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{6-x}}{2} \\ & = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{6-3}}{2} \\ & = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2} \\ & = \frac{\cancel{2}\sqrt{3}}{\cancel{2}} = \sqrt{3} \end{aligned} $$