Esercizio 2 - difficoltà: 1
Un'urna contiene $5$ biglie rosse e $10$ bianche. Si estraggono dall'urna, successivamente, due biglie, rimettendo nell'urna la prima biglia estratta. Determina la probabilità:
- a) di estrarre due biglie rosse;
- b) di estrarre due biglie dello stesso colore;
- c) di estarre due biglie di colori diversi.
Soluzione:
Generalmente la probabilità di un evento $E$ si calcola come
$$p(E) = \frac{\text{numero di casi favorevoli}}{\text{numero di casi possibili}}$$
In più, notiamo che nel nostro caso, inserendo di nuovo la biglia estratta, ogni estrazione è indipendente. Tradotto: la seconda biglia estratta non è condizionata dalla prima.
Chiamo $R_1$ l'evento "la prima biglia estratta è rossa" e $R_2$ l'evento "la seconda biglia estratta è rossa". Con questa definizione, la prima domanda ci chiede di calcolare $p(R_1 \cap R_2)$. E sicome gli eventi sono indipendenti, si ha
\begin{align*} p(R_1 \cap R_2) & = p(R_1) \cdot p(R_2) \\ & = \frac{5}{15} \cdot \frac{5}{15} \\ & = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \\ & = \frac{1}{9} \end{align*}
dove nel secondo passaggio ho usato la definizione di probabilità ($5$ biglie rosse casi favorevoli, su $15$ biglie totali).
La seconda domanda ci chiede la probabilità di estrarre due biglie dello stesso colore. Cosa significa? Ho due casi in cui mi succede quello che viene richiesto: o estraggo due biglie rosse, oppure estraggo due biglie bianche. Noto che questi casi si escludono a vicenda: non posso contemporaneamente aver estratto due biglie, sia bianche che rosse. Chiamo $R$ l'evento "estraggo due biglie rosse" (caso chiesto prima) e $B$ l'evento "estraggo due biglie bianche". La seconda domanda ci chiede di calcolare $p(R \cup B)$. E siccome gli eventi si escludono a vicenda, si ha
\begin{align*} p(R \cup B) & = p(R) + p(B) \\ & = \frac{1}{9} + \frac{10}{15} \cdot \frac{10}{15} \\ & = \frac{1}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \\ & = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} \\ & = \frac{5}{9} \end{align*}
dove per calcolare $p(B)$ si fa lo stesso ragionamento fatto al punto precedente per calcolare $p(R)$.
La terza domanda ci chiede la probabilità di estrarre due biglie di colori diversi. Cosa significa? Ho due casi in cui mi succede quello che viene richiesto: o la prima è rossa e la seconda è bianca (evento $R_1 \cap B_2$), oppure la prima è bianca e la seconda è rossa (evento $B_1 \cap R_2$). Anche qui, gli eventi si escludono a vicenda. Chiamo $B_1$ l'evento "la prima biglia estratta è bianca" e $B_2$ l'evento "la seconda biglia estratta è bianca". La domanda ci chiede quindi $p((R_1 \cap B_2) \cup (B_1 \cap R_2))$. E siccome gli eventi si escludono a vicenda e le estrazioni sono indipendenti
\begin{align*} p((R_1 \cap B_2) \cup (B_1 \cap R_2)) & = p(R_1 \cap B_2) + p(B_1 \cap R_2) \\ & = p(R_1) \cdot p(B_2) + p(B_1) \cdot p(R_2) \\ & = \frac{5}{15} \cdot \frac{10}{15} + \frac{10}{15} \cdot \frac{5}{15} \\ & = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \\ & = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} \\ & = \frac{4}{9} \end{align*}
Memo: tendenzialmente la "e" italiana corrisponde all'intersezione ($\cap$) matematica, mentre la "o" italiana corrisponde all'unione ($\cup$) matematica.