Esercizio 2 - difficoltà: 1

Semplifica la seguente espressione supponendo tutti i fattori letterali dei radicandi positivi:

$$\sqrt{x+1-\frac{6}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{x-2}}: \sqrt{x-\frac{9}{x}}$$

Soluzione:

Visto che la consegna dice che tutti i fattori sono positivi, posso non mettere le C.E.. Per poter fare le operazioni fra radici, svolgo i conti negli argomenti delle radici così da avere un'unica frazione:

\begin{align*} & \sqrt{\frac{x^2+x-6}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{x-2}}: \sqrt{\frac{x^2-9}{x}} \\ & = \sqrt{\frac{x^2+x-6}{x}} \cdot \sqrt{\frac{1}{x-2}} \cdot \sqrt{\frac{x}{x^2-9}} \\ & = \sqrt{\frac{x^2+x-6}{x} \cdot \frac{1}{x-2} \cdot \frac{x}{x^2-9}} \end{align*}

dove l'ultimo passaggio è possibile perchè le radici hanno tutte lo stesso indice.

Dentro la radice, abbiamo ora delle moltiplicazioni fra frazioni algebriche: per poter semplificare, devo prima scomporre.

Memo: si possono semplificare solo fattori $\rightarrow$ scomporre.

\begin{align*} & \sqrt{\frac{x^2+x-6}{x} \cdot \frac{1}{x-2} \cdot \frac{x}{x^2-9}} \\ & = \sqrt{\frac{(x+3)(x-2)}{x} \cdot \frac{1}{x-2} \cdot \frac{x}{(x+3)(x-3)}} \\ & = \sqrt{\frac{\cancel{(x+3)}\cancel{(x-2)}}{\cancel{x}} \cdot \frac{1}{\cancel{x-2}} \cdot \frac{\cancel{x}}{\cancel{(x+3)}(x-3)}} \\ & = \sqrt{\frac{1}{x-3}} \end{align*}

Soluzione equivalente: $\sqrt{\frac{1}{x-3}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{\sqrt{x-3}}$.

Se fosse richiesto anche di razionalizzare il denominatore:

\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{x-3}} & = \frac{1}{\sqrt{x-3}} \cdot \frac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x-3}} \\ & = \frac{\sqrt{x-3}}{(\sqrt{x-3})^2} \\ & = \frac{\sqrt{x-3}}{x-3} \end{align*}