Esercizio 2 - difficoltà: 1
Determina per quale valore di $a$ il punto $P(a+1;-a)$ appartiene alla retta di equazione $x+2y-1=0$.
Soluzione:
Per risolvere l'esercizio, ricordiamo un concetto: cosa significa che un punto appartiene a una retta?
Una retta nel piano cartesiano è un insieme di punti: punti a caso? No, sono tutti punti in cui la coordinata $x$ e la coordinata $y$ stanno in relazione. Quale relazione? La relazione data proprio dall'equazione della retta. Quindi un punto appartiene a una specifica retta se le coordinate $x$ e $y$ di quel punto soddisfano l'equazione della retta.
Cosa significa soddisfare un'equazione? Significa renderla vera. In altre parole, sostituendo le coordinate $x$ e $y$ del punto al posto della $x$ e della $y$ della retta, l'uguaglianza che rimane deve essere vera.
Esempio facile per capire. Abbiamo la retta $y=x$.
Il punto $P(3;3)$ appartiene alla retta? Sì perchè se sostitusco $x=3$ ($x$ di $P$) e $y=3$ ($y$ di $P$) nell'equazione della retta ottengo $3=3$ che è un'uguaglianza vera.
Il punto $P(3;4)$ appartiene alla retta? No perchè se sostitusco $x=3$ ($x$ di $P$) e $y=4$ ($y$ di $P$) nell'equazione della retta ottengo $4=3$ che NON è un'uguaglianza vera.
Tornando al nostro esercizio. Per vedere se il punto $P(a+1;-a)$ appartiene alla retta di equazione $x+2y-1=0$, dobbiamo quindi sostituire la $x$ e la $y$ di $P$ nell'equazione.
$$ \begin{aligned} x+2y-1& = 0 \\ \underbrace{(a+1)}_{x \text{ di } P}+2\underbrace{(-a)}_{y \text{ di } P}-1 & = 0 \\ a+1-2a-1 & = 0 \rightarrow \text{eq. in }a \\ a-2a & =-1+1 \\ -a & = 0 \\ a & = 0 \end{aligned} $$Abbiamo quindi trovato che per $a=0$ il punto $P(a+1;-a)$ appartiene alla retta di equazione $x+2y-1=0$.
Controriprova (non necessaria, ma per capire): con $a=0$, il punto $P$ è $P(1,0)$. Se sostituisco le sue coordinate nell'equazione della retta $x+2y-1=0$ ottengo
$$ \begin{aligned} (1)+2(0)-1 & = 0 \\ 1+0-1 & = 0 \\ 0 & = 0 \end{aligned} $$che è un'uguaglianza vera.