Esercizio 2 - difficoltà: 1
Scomponi il seguente polinomio:
$$18x^4-24x^2+8$$
Soluzione:
Come prima ricordiamo l'ordine con cui provare i metodi di scomposizione:
- raccoglimento totale;
- raccoglimento parziale;
- prodotti notevoli;
- trinomio particolare di secondo grado;
- Ruffini.
Ricordiamo anche la differenza fra "termini" e "fattori": i termini (che chiamo T) sono separati da segni $+$ o $-$, i fattori (che chiamo F) sono separati dalla $\cdot$.
\begin{align*} & \underbrace{18x^4}_{T}-\underbrace{24x^2}_{T}+\underbrace{8}_{T} \\ & \\ & \underbrace{18}_{F}\underbrace{x^4}_{F}-\underbrace{24}_{F}\underbrace{x^2}_{F}+\underbrace{8}_{F} \end{align*}
Proviamo il primo metodo, il raccoglimento totale. Ci dobbiamo chiedere: ci sono fattori che sono presenti in tutti i termini?
Certo, il fattore $2$. Posso quindi fare un raccoglimento totale:
\begin{align*} & 18x^4-24x^2+8 \\ & = 2 \cdot (9x^4-12x^2+4) \end{align*}
Mi concentro ora solo su $9x^4-12x^2+4$: dovrei proseguire tentando un raccoglimento parziale, ma ricordo che per i raccoglimenti parziali (quasi sempre) serve un numero pari di termini, e qui invece ne ho $3$ (dispari). Proseguo quindi con i prodotti notevoli.
In tutti gli sviluppi dei prodotti notevoli c'è solo un prodotto che ha $3$ termini: il quadrato di binomio. Verifichiamo se è quello. Devo avere
- un termine che è un quadrato: nel nostro caso, $9x^4 = (3x^2)^2$
- un altro termine che è un quadrato: nel nostro caso, $4 = (2)^2$
- con i due termini appena trovati, calcolare il doppio prodotto: nel nostro caso, $2 \cdot 3x^2 \cdot 2 = 12x^2$
Il doppio prodotto appena calcolato è uguale al terzo termine del polinomio? Se la risposta è no, non è un prodotto notevole, e passo ai trinomi particolari.
Nel nostro caso, la risposta è sì, tranne un segno meno: ciò significa che uno dei due fattori trovati deve essere negativo. Quindi
\begin{align*} 9x^4 & = (3x^2)^2 \\ +4 & = (-2)^2 \\ 2 \cdot (3x^2) \cdot (-2) & = -12x^2 \end{align*}
I tre termini tornano tutti, quindi
$$9x^4-12x^2+4 = (3x^2)^2+2(3x^2)(-2)+(-2)^2 = (3x^2-2)^2$$
Riprendendo tutto il polinomio
\begin{align*} & 18x^4-24x^2+8 \\ & = 2 \cdot (9x^4-12x^2+4) \\ & = 2 \cdot (3x^2-2)^2 \end{align*}
Come faccio a capire che ho finito?
Guardo ogni singolo fattore, e per ogni singolo fattore verifico che nessun metodo funziona più.