Esercizio 2 - difficoltà: 1

Risolvi il seguente sistema lineare

$$ \begin{cases} (x-y)(x+1) = (x-2)^2-xy \\ 1-2(x+y) = -1 \end{cases} $$

Soluzione:

Come prima cosa "sistemo" le due equazioni singolarmente in modo da capire quale metodo conviene di più usare.

$$ \begin{aligned} (x-y)(x+1) & = \underbrace{(x-2)^2}_{\text{prod.not.}}-xy \\ x^2+x-xy-y & = (x)^2+2(x)(-2) + (-2)^2 -xy \\ x^2+x-xy-y & = x^2-4x+4-xy \\ \cancel{x^2}+x-\cancel{xy}-y & = \cancel{x^2}-4x+4-\cancel{xy} \\ x-y+4x & = 4 \\ 5x-y & = 4 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} 1-2(x+y) & = -1 \\ 1-2x-2y & = -1 \\ -2x-2y & = -1-1 \\ -2x-2y & = -2 \\ (-1) \cdot (-2x-2y) & = -2 \cdot (-1) \\ 2x+2y & = 2 \end{aligned} $$

Il sistema è quindi

$$ \begin{cases} 5x-y = 4 \\ 2x+2y = 2 \end{cases} $$

Isolo \(y\) dalla prima equazione e uso il metodo di sostituzione.

$$ \begin{aligned} & \begin{cases} -y = 4-5x \\ 2x+2y = 2 \end{cases} \\ & \begin{cases} y = -4+5x \\ 2x+2y = 2 \end{cases} \\ & \begin{cases} y = -4+5x \\ 2x+2(-4+5x) = 2 \end{cases} \end{aligned} $$

Risolvo la seconda equazione in \(x\):

$$ \begin{aligned} 2x-8+10x & = 2 \\ 2x+10x & = 2+8 \\ 12x & = 10 \\ \frac{1}{\cancel{12}} \cdot \cancel{12}x & = 10 \cdot \frac{1}{12} \\ x & = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \end{aligned} $$

Ora che ho trovato \(x\) torno nell'altra equazione e sostituisco:

$$ \begin{aligned} y & = -4+5x \\ & = -4 +5 \cdot \frac{5}{6} \\ & = -4 + \frac{25}{6} \\ & = \frac{-24+25}{6} \\ & = \frac{1}{6} \end{aligned} $$

Ho quindi trovato \(x = \frac{5}{6}\) e \(y = \frac{1}{6}\), ossia la soluzione finale è la coppia

$$\left(\frac{5}{6}; \frac{1}{6}\right)$$

Attenzione: non scambiare \(x\) e \(y\) nello scrivere la coppia. Prima va sempre la coordinata \(x\) e poi la \(y\).