Integrali

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Gli esercizi sugli integrali permettono di imparare a riconoscere primitive, scegliere una tecnica di integrazione e interpretare geometricamente un integrale definito. In questa pagina trovi svolgimenti passo passo pensati per chiarire non soltanto il risultato, ma il motivo per cui si utilizza una determinata strategia.

La parte più delicata consiste spesso nel riconoscere la forma dell’integranda. Alcuni integrali sono immediati, altri richiedono sostituzione, integrazione per parti o scomposizioni. Gli esercizi guidati aiutano a controllare costanti, estremi e segni e a verificare il risultato derivando la primitiva.

π

∆

∫

√

<

>

+

−

=

∀

∃

∂

f(x)

π

∆

∫

√

<

>

+

−

=

∀

∃

∂

f(x)

Cosa si studia negli esercizi sugli integrali

L’integrale indefinito rappresenta una famiglia di primitive e include la costante arbitraria. L’integrale definito associa invece un numero a un intervallo e può essere calcolato tramite il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Gli esercizi comprendono integrali immediati, funzioni composte, prodotti, funzioni razionali e applicazioni geometriche come il calcolo di aree.

primitive e integrali indefiniti
costante di integrazione
integrali immediati
integrazione per sostituzione
integrazione per parti
integrali di funzioni razionali
integrali definiti
aree tra grafici

Esercizio 1 (Gratis)

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale

$$\\\\int \\\\left( \\\\frac{2}{x^3}-x^2-\\\\frac{1}{x}\\\\right) dx $$

Soluzione

Esercizio 2 (Gratis)

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale

$$\\\\int \\\\frac{x+3}{\\\\sqrt{x+2}}dx$$

Soluzione

Esercizio 3

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale

$$\\\\int \\\\frac{x^2+4x+1}{2x} dx $$

Sblocca

Esercizio 4

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale definito

$$\\\\int_{0}^{5} \\\\frac{1}{\\\\sqrt{x+4}}dx$$

Sblocca

Esercizio 5

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale

$$\\\\int \\\\frac{\\\\cos(3x)}{2\\\\sqrt{\\\\sin(3x)}}dx$$

Sblocca

Esercizio 6

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale definito

$$\\\\int_{1}^{2} \\\\frac{e^{\\\\frac{1}{x}}}{x^2}dx$$

Sblocca

Esercizio 7

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale, se convergente

$$\\\\int_{1}^{+\\\\infty} \\\\frac{x-1}{x^2+2x}dx$$

Sblocca

Esercizio 8

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale

$$\\\\int x\\\\sqrt{x+4}dx$$

Sblocca

Esercizio 9

Difficoltà ★☆☆

Trova il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse $x$ del trapezoide individuato dal grafico della funzione $y = \\\\sqrt{\\\\frac{x+4}{x}}$ nell’intervallo $[-5,-4]$.

Sblocca

Esercizio 10

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale

$$\\\\int \\\\frac{x^4-2x^3-1}{x-1}dx$$

Sblocca

Esercizio 11

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale

$$\\\\int \\\\frac{4x+3}{x^2+8x+16}$$

Sblocca

Esercizio 12

Difficoltà ★☆☆

Calcola il seguente integrale

$$\\\\int \\\\frac{x+1}{x^3-3x^2+2x}dx$$

Sblocca

Esercizio 13

Difficoltà ★★☆

Calcola il seguente integrale, se è convergente

$$\\\\int_{-1}^{0} \\\\ln\\\\left(\\\\frac{1}{x+1}\\\\right)dx$$

Sblocca

Esercizio 14

Difficoltà ★★☆

Calcola il seguente integrale

$$\\\\int \\\\frac{x^2+5x-1}{x^3+x^2-2}dx$$

Sblocca

Esercizio 15

Difficoltà ★★☆

Calcola il seguente integrale indefinito

$$\\\\int (x^2-1)e^xdx$$

Sblocca

Come affrontare gli esercizi sugli integrali

Prima di iniziare i calcoli bisogna classificare l’integranda e cercare segnali utili.

semplificare l’espressione quando possibile;
verificare se l’integrale è immediato;
cercare una funzione e la sua derivata per la sostituzione;
individuare un prodotto adatto all’integrazione per parti;
scomporre frazioni razionali se necessario;
applicare gli estremi solo dopo aver trovato una primitiva;
controllare il risultato tramite derivazione.

Gli errori frequenti sono dimenticare la costante, non trasformare correttamente il differenziale nella sostituzione, sbagliare il segno nella formula per parti o confondere area geometrica e integrale orientato.

Esercizi sugli integrali svolti passo passo

Gli svolgimenti completi mostrano come riconoscere la tecnica prima di applicarla. Questo è più utile che memorizzare una lunga lista di formule, perché molti esercizi richiedono di trasformare l’integranda.

La verifica mediante derivazione consente di controllare subito una primitiva. Negli integrali definiti, la spiegazione evidenzia come usare gli estremi e quando dividere l’intervallo per calcolare un’area positiva.

Allenarsi su tipologie diverse sviluppa flessibilità e prepara alle prove di analisi matematica e all’esame di maturità.

A chi sono utili questi esercizi?

Sono utili a chi deve ripassare le primitive, distinguere le tecniche di integrazione o recuperare il collegamento con le derivate.

Il percorso è indicato per studenti che si preparano a verifiche, maturità o corsi universitari di base e per chi vuole allenarsi in autonomia.

Riconosci la forma prima di integrare

Inizia dagli esercizi gratuiti e prova a indicare la tecnica prima di svolgere i calcoli. Nel percorso completo trovi integrali progressivi, applicazioni geometriche e controlli tramite derivazione.

FAQ

Che cos’è un integrale indefinito?

È l’insieme di tutte le primitive di una funzione. Poiché due primitive della stessa funzione differiscono per una costante, il risultato include sempre +C. Per controllarlo si deriva l’espressione ottenuta e si verifica che coincida con l’integranda.

Come si sceglie il metodo di integrazione?

Si osserva la struttura dell’integranda. Se corrisponde a una formula nota, l’integrale è immediato. La presenza di una funzione composta e della sua derivata suggerisce la sostituzione; un prodotto tra funzioni diverse può suggerire l’integrazione per parti.

Quando si usa l’integrazione per sostituzione?

Si usa quando nell’integranda compare una funzione composta insieme, a meno di una costante, alla derivata della funzione interna. Si introduce una nuova variabile, si trasforma il differenziale e si integra nella nuova variabile.

Quando si usa l’integrazione per parti?

È utile soprattutto nei prodotti in cui una funzione diventa più semplice derivandola e l’altra può essere integrata facilmente. La formula deriva dalla regola di derivazione del prodotto e richiede attenzione al segno del secondo integrale.

Che differenza c’è tra integrale definito e area?

L’integrale definito è orientato: le parti del grafico sotto l’asse x contribuiscono negativamente. L’area geometrica è sempre non negativa. Per calcolarla può essere necessario individuare gli zeri e dividere l’intervallo.

Come si verifica il risultato di un integrale?

Per un integrale indefinito si deriva la primitiva trovata. Per un integrale definito si può controllare anche il segno e l’ordine di grandezza osservando il grafico. La verifica aiuta a individuare errori di coefficienti o costanti.

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