Equazioni fratte
Le equazioni fratte sono equazioni in cui l’incognita compare al denominatore di una o più frazioni algebriche. In questa pagina trovi esercizi svolti passo passo per imparare a stabilire le condizioni di esistenza, eliminare correttamente i denominatori e controllare che le soluzioni ottenute siano ammissibili.
La difficoltà principale non è soltanto il calcolo. Prima di trasformare l’equazione bisogna escludere i valori che annullano i denominatori. Gli esercizi guidati mostrano come organizzare il procedimento, evitare soluzioni non accettabili e riconoscere quando l’equazione si riduce a una forma di primo o secondo grado.
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Cosa si studia negli esercizi sulle equazioni fratte
Un’equazione fratta contiene espressioni razionali con l’incognita al denominatore. Il dominio dell’equazione è formato dai valori reali che non annullano nessun denominatore. Queste esclusioni devono essere scritte prima di effettuare semplificazioni.
Dopo aver stabilito le condizioni di esistenza si determina il minimo comune multiplo dei denominatori e si moltiplicano entrambi i membri. L’equazione ottenuta è generalmente intera, ma le sue soluzioni devono essere confrontate con le esclusioni iniziali.
- condizioni di esistenza e dominio
- minimo comune multiplo di polinomi
- scomposizione dei denominatori
- eliminazione delle frazioni
- equazioni fratte di primo e secondo grado
- soluzioni accettabili e non accettabili
- verifica nell’equazione iniziale
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{x+1}{x^3-5x^2+4x} +\frac{2}{x} = \frac{2}{x-1}$$
Esercizio 2 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione:
$$\frac{2(x+2)}{x-2} + \frac{6}{x^2-4x+4} = \frac{x}{x-2} +\frac{5x-x^2}{x^2-4x+4}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{x+4}{x-1} -\frac{2-x}{x+1} = 2$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{2}{x} -\frac{3}{x-1} = \frac{1}{2x^2-2x}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{2x}{4x^2-12x+9} +\frac{1}{4x^2-9} = \frac{1}{2x+3}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione:
$$\frac{1+x}{x^2+5x+6} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione:
$$\left(1-\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{1-x}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{x+3}{2x} + \frac{x+1}{2x+8} = \frac{x^2+4x+6}{x^2+4x}$$
Difficoltà ★☆☆
Un gruppo di persone organizza una gita in pullman dal costo complessivo di $1.800$ euro, che viene equamente diviso tra tutti i partecipanti. All’ultimo minuto di aggiungono al gruppo altre $5$ persone; ciò fa sì che la quota che ciscun partecipante deve pagare diminuisca di $5$ euro rispetto a quella inizialmente prevista. Da quante persone era formato il gruppo iniziale?
Difficoltà ★☆☆
La somma dei reciproci di due numeri interi consecutivi è $\frac{11}{30}$. Trova i due numeri.
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione:
$$\frac{x-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}} = \frac{2x}{x+2}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{3}{x^3-3x^2+3x-1} -\frac{x}{x^2-2x+1}= \frac{1}{1-x}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{1}{x^2-2} -\frac{1}{x^2-\sqrt{2}x}= \frac{1}{x}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{x+2}{x^4+x^2-2} -\frac{1}{x^2-1}= \frac{1}{x^2+2}$$
Come affrontare le equazioni fratte
La procedura deve rispettare un ordine preciso, perché cancellare un denominatore prima di aver indicato le esclusioni può far perdere informazioni essenziali.
- scomporre, quando possibile, tutti i denominatori;
- imporre ogni denominatore diverso da zero;
- calcolare il minimo comune multiplo;
- moltiplicare tutti i termini per il denominatore comune;
- semplificare e risolvere l’equazione intera ottenuta;
confrontare i risultati con le condizioni di esistenza; - verificare le soluzioni ammesse nella forma iniziale.
Gli errori più frequenti sono dimenticare le condizioni di esistenza, semplificare termini che non sono fattori, non moltiplicare tutti gli addendi oppure accettare un valore che annulla un denominatore.
Equazioni fratte svolte passo passo
Gli esercizi svolti permettono di vedere la differenza tra il calcolo algebrico e il controllo finale di ammissibilità. Una soluzione dell’equazione trasformata non è automaticamente una soluzione dell’equazione di partenza.
La spiegazione completa evidenzia come scomporre i denominatori, costruire il minimo comune multiplo e gestire correttamente parentesi e segni. Questo metodo può essere riutilizzato anche nelle disequazioni fratte.
Allenarsi con casi diversi aiuta a riconoscere denominatori equivalenti, fattori comuni e situazioni in cui l’equazione risulta impossibile o indeterminata nel proprio dominio.
A chi sono utili questi esercizi?
Gli esercizi sono utili a chi deve recuperare frazioni algebriche, scomposizioni e condizioni di esistenza. Sono indicati anche per chi sa risolvere l’equazione intera ma perde punti nel controllo delle soluzioni.
Il percorso supporta la preparazione a verifiche e interrogazioni e consente di allenarsi in autonomia confrontando ogni passaggio con uno svolgimento ordinato.
Prova gli esercizi partendo dal dominio
Inizia dagli esercizi gratuiti e scrivi sempre le condizioni di esistenza prima di eliminare i denominatori.
Nel percorso completo trovi altri casi con denominatori scomposti, equazioni riconducibili al secondo grado e soluzioni da escludere.
FAQ
Che cosa sono le equazioni fratte?
Sono equazioni in cui l’incognita compare al denominatore di una o più frazioni algebriche. Prima di risolverle bisogna stabilire quali valori rendono definiti tutti i denominatori. Successivamente si eliminano le frazioni e si risolve l’equazione intera ottenuta.
Come si trovano le condizioni di esistenza?
Si impone che ogni denominatore sia diverso da zero. Se i denominatori sono polinomi, conviene scomporli per individuare più facilmente i valori esclusi. Le condizioni devono essere mantenute fino alla fine e utilizzate per controllare le soluzioni trovate.
Come si eliminano i denominatori?
Dopo aver stabilito le condizioni di esistenza, si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori e si moltiplica ogni termine dell’equazione per esso. I denominatori si semplificano e rimane un’equazione intera, da risolvere con i metodi consueti.
Perché alcune soluzioni devono essere escluse?
Un valore può risolvere l’equazione ottenuta dopo l’eliminazione dei denominatori ma annullare un denominatore dell’equazione iniziale. In quel caso non appartiene al dominio e deve essere escluso, perché l’espressione originale non è definita.
Quali errori si commettono più spesso?
Gli errori più comuni sono dimenticare il dominio, calcolare male il minimo comune multiplo, semplificare addendi invece di fattori e non controllare le soluzioni finali. Scrivere un passaggio per riga aiuta a individuare subito eventuali omissioni.
Come prepararsi a una verifica sulle equazioni fratte?
Conviene ripassare scomposizioni e frazioni algebriche, poi svolgere esercizi con difficoltà crescente. Per ogni esercizio è utile separare chiaramente tre fasi: condizioni di esistenza, risoluzione dell’equazione intera e controllo delle soluzioni.