Equazioni irrazionali
Le equazioni irrazionali e gli esercizi svolti aiutano a capire come risolvere relazioni in cui l’incognita compare sotto un radicale. In questa pagina trovi un percorso guidato per stabilire il dominio, isolare i radicali, elevare a potenza in modo corretto e verificare le soluzioni ottenute.
L’elevamento al quadrato può introdurre soluzioni estranee. Per questo non basta arrivare a un valore numerico: bisogna controllarlo nell’equazione iniziale. Gli esercizi passo passo mostrano come distinguere trasformazioni equivalenti e implicazioni e come scegliere la strategia in base al numero di radicali presenti.
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Cosa si studia negli esercizi sulle equazioni irrazionali
Nelle equazioni irrazionali l’incognita compare nel radicando. Con radici di indice pari il radicando deve essere non negativo; con radici di indice dispari non si impone la stessa limitazione.
Le forme più semplici contengono un solo radicale e si risolvono isolandolo prima di elevare entrambi i membri alla potenza opportuna. Nei casi con più radicali il procedimento può richiedere isolamenti ed elevamenti successivi.
- dominio delle espressioni radicali
- radici di indice pari e dispari
- isolamento del radicale
- elevamento al quadrato o a potenza
- equazioni con uno o più radicali
- soluzioni estranee
- verifica nella forma iniziale
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$3-4x-\sqrt{x^2-1} = 4-3x$$
Esercizio 2 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt{x^2+6x+3}-x = 2$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt[3]{x^3-x}-x = -1$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt{x} = \frac{1}{2}\sqrt{20-x}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$2x-\sqrt{2x^2+6x+4}=x-2$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt[3]{x-1} = -\sqrt[3]{x+1}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$x+\sqrt{2x-x^2} = 7$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt{25-x^2} = \sqrt{x-6}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\frac{x+2-\sqrt{x}}{1-2\sqrt{x}} = -\frac{4}{3}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt{3(x^2-4)} = \sqrt{5x}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt[3]{x} = \frac{2}{\sqrt[3]{x-7}}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\frac{\sqrt{x+2}-1}{2} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+1}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt[3]{x-2} = 2x-4$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt{2x-18}= 3+\sqrt{x}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente equazione irrazionale
$$\sqrt[6]{3-3x} -\sqrt[3]{3x-1} = 0$$
Come affrontare gli esercizi sulle equazioni irrazionali
Il metodo deve ridurre gradualmente il numero di radicali e mantenere sotto controllo le condizioni necessarie.
- determinare il dominio dell’equazione;
- isolare un radicale in un membro;
- controllare il segno del membro opposto quando necessario;
- elevare entrambi i membri alla potenza adatta;
- semplificare e ripetere il procedimento se restano radicali;
- risolvere l’equazione algebrica ottenuta;
- verificare ogni risultato nell’equazione iniziale.
Gli errori più comuni sono elevare al quadrato una somma termine per termine, dimenticare le condizioni sul segno e accettare soluzioni estranee.
Equazioni irrazionali svolte passo passo
Gli svolgimenti completi chiariscono perché la verifica non è un controllo facoltativo, ma parte integrante della soluzione. L’operazione di elevamento può infatti ampliare l’insieme delle soluzioni.
Vedere tutti i passaggi aiuta a gestire correttamente quadrati di binomi, radicali doppi e condizioni preliminari. Gli esercizi mostrano anche quando conviene isolare un radicale diverso per semplificare i calcoli.
La pratica guidata prepara ad affrontare disequazioni irrazionali e problemi in cui compaiono distanze, radici e formule geometriche.
A chi sono utili questi esercizi?
Sono utili a chi deve recuperare radicali, dominio e prodotti notevoli oppure commette errori nell’elevamento al quadrato.
Sono adatti alla preparazione di verifiche e allo studio autonomo, perché permettono di confrontare il proprio procedimento con una sequenza di passaggi motivati.
Allenati senza saltare la verifica
Prova gli esercizi gratuiti annotando dominio e condizioni prima di elevare a potenza.
Sblocca il percorso completo per lavorare su equazioni con più radicali e casi in cui compaiono soluzioni estranee.
FAQ
Che cosa sono le equazioni irrazionali?
Sono equazioni in cui l’incognita compare all’interno di uno o più radicali. Per risolverle si determina il dominio, si isolano progressivamente i radicali e si eleva a potenza. Le soluzioni trovate devono sempre essere verificate nella forma iniziale.
Come si determina il dominio?
Per ogni radice di indice pari si impone che il radicando sia maggiore o uguale a zero. Le condizioni ottenute vanno intersecate tra loro e con eventuali altre limitazioni. Le radici di indice dispari sono invece definite per ogni radicando reale.
Perché si isola il radicale?
Isolare il radicale permette di elevare a potenza senza creare espressioni inutilmente complesse. Se il radicale resta insieme ad altri termini, il quadrato del membro richiede prodotti notevoli e può generare nuovi radicali, rendendo il procedimento più lungo.
Perché compaiono soluzioni estranee?
Elevare entrambi i membri al quadrato non è sempre un’operazione reversibile: due quantità opposte hanno lo stesso quadrato. L’equazione trasformata può quindi ammettere valori che non soddisfano quella iniziale. La sostituzione finale serve a eliminarli.
Come si risolve un’equazione con due radicali?
Di solito si isola uno dei radicali, si eleva al quadrato e si semplifica. Se rimane un altro radicale, lo si isola e si eleva nuovamente. Alla fine si risolve l’equazione algebrica e si verificano tutte le soluzioni.
Quali prerequisiti servono?
È utile conoscere proprietà dei radicali, dominio, prodotti notevoli, equazioni di primo e secondo grado e tecniche di scomposizione. Una buona padronanza del quadrato di binomio riduce molti errori di calcolo.