Disequazioni di primo grado
Le disequazioni di primo grado servono a determinare quali valori della variabile rendono vera una disuguaglianza. In questa pagina trovi esercizi svolti passo passo per imparare a isolare l’incognita, gestire correttamente i termini e rappresentare la soluzione sulla retta reale.
Il procedimento ricorda quello delle equazioni, ma presenta una regola decisiva: quando si moltiplica o si divide entrambi i membri per un numero negativo, il verso della disequazione deve cambiare. Gli esercizi guidati aiutano a riconoscere questo passaggio, evitare gli errori più frequenti e costruire un metodo semplice da applicare durante lo studio e le verifiche.
Cosa si studia negli esercizi sulle disequazioni di primo grado
Una disequazione di primo grado può essere ricondotta alla forma $ax + b > 0$, $ax + b < 0$ oppure alle versioni con uguaglianza. Risolverla significa trovare un intervallo, una semiretta, tutto l’insieme dei reali oppure nessuna soluzione.
Gli esercizi comprendono disequazioni con parentesi, coefficienti frazionari, termini presenti in entrambi i membri e casi particolari in cui l’incognita si elimina. In questi ultimi casi si ottiene una disuguaglianza numerica sempre vera o sempre falsa.
- principi di equivalenza delle disequazioni
- trasporto e riduzione dei termini simili
- cambio del verso con numeri negativi
- soluzioni aperte e chiuse
- rappresentazione sulla retta reale
- disequazioni impossibili o sempre verificate
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione intera numerica:
$$(x-3)^2+3(3x+4) > (x+6)(x+3)+12$$
Esercizio 2 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione intera numerica:
$$x(x-2)>(x-1)^2+2$$
Gli altri 13 esercizi di questo argomento sono in arrivo.
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Avvisami quando sono disponibiliCome affrontare le disequazioni di primo grado
È utile procedere con ordine e non saltare i passaggi, soprattutto quando sono presenti parentesi o frazioni.
- eliminare le parentesi applicando correttamente la proprietà distributiva;
- ridurre eventuali frazioni usando un denominatore comune, quando opportuno;
- portare i termini con l’incognita da un lato e i termini noti dall’altro;
- ridurre i termini simili;
- dividere per il coefficiente dell’incognita, cambiando verso se è negativo;
- scrivere l’intervallo e rappresentarlo sulla retta.
Gli errori più comuni sono cambiare verso durante un semplice trasporto, dimenticare di cambiarlo quando si divide per un numero negativo o confondere un estremo incluso con uno escluso. Il verso cambia soltanto in seguito a una moltiplicazione o divisione per una quantità negativa.
Esercizi di primo grado svolti passo passo
Vedere ogni trasformazione aiuta a capire quali operazioni mantengono equivalente la disequazione. Gli svolgimenti mostrano come trattare parentesi e frazioni, come riconoscere il segno del coefficiente finale e come tradurre il risultato in notazione di intervallo.
Il procedimento completo è utile anche per controllare la risposta. Sostituendo un numero appartenente all’intervallo e uno esterno, si può verificare se la disuguaglianza iniziale si comporta come previsto.
Con esercizi progressivi diventa più semplice affrontare casi simili in autonomia e spiegare il ragionamento durante una verifica, senza limitarsi a scrivere una soluzione priva di passaggi.
A chi sono utili questi esercizi?
Questi esercizi sono pensati per gli studenti che devono recuperare le basi dell’algebra e vogliono capire come trasformare una disequazione in una sequenza di passaggi controllabili. Sono utili anche a chi si prepara a una verifica e ha bisogno di distinguere con sicurezza i diversi casi legati al segno del coefficiente.
Il percorso è adatto a chi tende a commettere errori nei cambi di verso, nella rappresentazione sulla retta o nella gestione delle frazioni. Può essere utilizzato anche per allenarsi in autonomia: prima si prova a risolvere l’esercizio, poi si confronta il procedimento con la soluzione guidata.
Inizia dagli esercizi gratuiti
Prova a risolvere gli esercizi gratuiti scrivendo un passaggio per riga e controllando con attenzione il segno del coefficiente dell’incognita.
Se il metodo ti è utile, puoi accedere al percorso completo per esercitarti con parentesi, frazioni e casi particolari.
FAQ
Come si risolve una disequazione di primo grado?
Si eliminano parentesi e frazioni, si portano i termini con l’incognita da un lato e quelli numerici dall’altro, quindi si riducono i termini simili. Infine si divide per il coefficiente di $x$. Se questo coefficiente è negativo, il verso della disequazione deve essere invertito. La soluzione viene scritta come intervallo o semiretta.
Quando bisogna cambiare il verso della disequazione?
Il verso cambia quando entrambi i membri vengono moltiplicati o divisi per un numero negativo. Non cambia, invece, quando si somma o si sottrae la stessa quantità ai due membri. Per evitare errori conviene osservare il segno del numero per cui si divide nell’ultimo passaggio.
Come si rappresenta la soluzione sulla retta reale?
Si segna il valore che costituisce l’estremo e si traccia la semiretta nella direzione indicata dalla soluzione. Il punto è vuoto per i simboli maggiore o minore, perché l’estremo è escluso. È pieno per maggiore o uguale e minore o uguale, perché il valore appartiene all’insieme soluzione.
Una disequazione può avere tutte le soluzioni reali?
Sì. Se durante i passaggi l’incognita si elimina e rimane una disuguaglianza numerica sempre vera, come 2 minore di 5, la disequazione è verificata per ogni numero reale. Se rimane una relazione falsa, come 4 minore di 1, la disequazione è impossibile e non ha soluzioni.
Come si risolvono le disequazioni di primo grado con le frazioni?
Si può calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori e moltiplicare entrambi i membri per una quantità positiva che li elimini. Poi si procede come in una normale disequazione lineare. Se si moltiplicasse per una quantità negativa, sarebbe necessario invertire il verso, ma di solito si sceglie un multiplo positivo.
Come verificare la soluzione di una disequazione lineare?
Scegli un numero che appartiene all’intervallo trovato e sostituiscilo nella disequazione iniziale: la relazione deve risultare vera. Puoi poi provare un numero esterno all’intervallo, che dovrebbe rendere falsa la disuguaglianza. Questo controllo è particolarmente utile quando hai diviso per un coefficiente negativo.