Disequazioni di secondo grado
Le disequazioni di secondo grado chiedono di stabilire per quali valori di x un trinomio quadratico è positivo, negativo oppure nullo. In questa pagina trovi esercizi svolti passo passo che collegano il calcolo delle radici al segno della parabola e alla scrittura dell’insieme soluzione.
La formula risolutiva, da sola, non basta: dopo aver trovato gli eventuali zeri bisogna considerare il segno del coefficiente di x² e capire se la parabola è rivolta verso l’alto o verso il basso. Gli esercizi guidati mostrano come interpretare i casi con due radici, una radice doppia o nessuna radice reale, così da costruire un metodo completo e affidabile.
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Cosa si studia nelle disequazioni di secondo grado
Una disequazione quadratica può essere scritta nella forma $ax^2 + bx + c$ maggiore, minore, maggiore o uguale oppure minore o uguale a zero, con a diverso da zero. Il segno del trinomio dipende dalle sue radici reali e dall’orientamento della parabola associata.
Quando il discriminante è positivo esistono due radici distinte. Se $a$ è positivo, il trinomio è positivo all’esterno delle radici e negativo tra esse; se $a$ è negativo accade il contrario. Con discriminante nullo esiste una radice doppia, mentre con discriminante negativo il trinomio mantiene sempre il segno di $a$.
- calcolo del discriminante e delle radici
- interpretazione della parabola
- studio del segno del trinomio
- casi con delta positivo, nullo o negativo
- estremi inclusi ed esclusi
- disequazioni quadratiche incomplete
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$(x-1)^2 + 10x -7(x+1) < 0$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$8(x^2+2-x) < x(16-x)$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$x(x+2\sqrt{2}) +2(\sqrt{2}x-6) \leq 3\sqrt{2}x$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$(x+1)^3 > x(x^2-2)+(x-2)(x+1)$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$x^2+(x+\sqrt{2})^2 > (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\left(\frac{x-1}{2}-1\right)\left(\frac{x+2}{3}+1\right) \geq -\frac{8}{3}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{x}{2} -\frac{x+2}{3} \geq x^2+\frac{x}{3}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$(1-2x)(2x-1)+(2x-1)(-2x-1) \geq (x-1)^2$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\left(\frac{1}{2}x-1\right)^2+\left(\frac{1}{2}x+1\right)\left(\frac{1}{2}x-3\right) > -4$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{x+2}{4} -\frac{x+1}{2} > x^2+1$$
Difficoltà ★☆☆
Giovanni ottiene il permesso da parte del comune di allargare il suo giardino che attualmente misura $10m$ per $15m$. Le condizioni poste dal comune sono che vengano aumentate della stessa misura sia la larghezza che la lunghezza del giardino e che la superficie finale non superi il doppio di quella iniziale. Di quanti metri al massimo Giovanni potrà aumentare le dimensioni del suo giardino?
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente disequazione
$$1 < \left(\frac{x-1}{2}-1\right)^2+\left(\frac{x+1}{2}-1\right)^2$$
Difficoltà ★★☆
Osserva la seguente figura, in cui il quadrato $ABCD$ ha lato di misura $1$. Indicata con $x$ la misura di $AE$, determina per quali valori di $x$ l'area della parte gialla è almeno $\frac{5}{18}$.
Come affrontare le disequazioni di secondo grado
Il procedimento deve distinguere il calcolo delle radici dall’interpretazione del segno.
- portare tutti i termini nello stesso membro;
- ridurre l’espressione alla forma $ax² + bx + c$;
- calcolare il discriminante;
- trovare le radici reali, se esistono;
- osservare il segno del coefficiente $a$;
- costruire lo schema della parabola o la tabella del segno;
- selezionare gli intervalli richiesti e gestire gli estremi.
Un errore frequente consiste nell’applicare automaticamente la regola “positivo fuori e negativo dentro” senza controllare il segno di a. Altri errori riguardano il caso delta negativo e l’inclusione delle radici nelle disequazioni strette.
Esercizi svolti con parabola e studio del segno
Gli esercizi svolti mostrano perché le radici dividono la retta in intervalli e come l’orientamento della parabola stabilisce il segno in ciascuna zona. Questa interpretazione riduce la memorizzazione meccanica e rende più semplice controllare il risultato.
Nei casi incompleti può essere più rapido scomporre il trinomio anziché usare la formula generale. Vedere approcci diversi aiuta a scegliere la strategia più efficiente in base alla struttura dell’espressione.
La soluzione passo passo è utile per imparare a scrivere correttamente unioni di intervalli e per prepararsi a esercizi successivi, come disequazioni fratte e di grado superiore, che usano lo stesso studio del segno.
A chi sono utili questi esercizi?
Gli esercizi sono utili a chi deve recuperare lo studio delle disequazioni quadratiche, a chi si prepara a una verifica e a chi conosce la formula risolutiva ma non sa ancora tradurre le radici nel corretto insieme soluzione.
Sono indicati anche per gli studenti che hanno difficoltà con il grafico della parabola o con la tabella dei segni. Lo svolgimento guidato permette di collegare calcolo e interpretazione, fino a rendere più naturale la scelta degli intervalli.
Allenati con le parabole e gli intervalli
Inizia dagli esercizi gratuiti e prova a disegnare uno schema della parabola prima di leggere la soluzione. Questo passaggio rende più immediata la scelta degli intervalli.
Nel percorso completo trovi ulteriori esercizi per consolidare i casi con delta positivo, nullo e negativo.
FAQ
Come si risolve una disequazione di secondo grado?
Si porta il trinomio da un solo lato e lo si confronta con zero. Si calcolano il discriminante e le eventuali radici, poi si osserva il segno del coefficiente di $x^2$ per stabilire l’orientamento della parabola. Infine si scelgono gli intervalli in cui il trinomio ha il segno richiesto.
Quando una disequazione di secondo grado è positiva fuori dalle radici?
Il trinomio è positivo fuori dalle due radici e negativo tra esse quando il coefficiente di $x^2$ è positivo e il discriminante è maggiore di zero. Se il coefficiente è negativo, i segni si invertono. Per questo non basta ricordare una regola: occorre sempre controllare il valore di $a$.
Che cosa succede se il discriminante è negativo?
Se il discriminante è negativo, la parabola non interseca l’asse $x$ e il trinomio non si annulla mai. Il suo segno coincide sempre con quello del coefficiente $a$. Di conseguenza, una disequazione può risultare verificata per tutti i reali oppure non avere soluzioni, a seconda del verso richiesto.
Come si gestisce una radice doppia?
Con discriminante uguale a zero la parabola tocca l’asse $x$ in un solo punto. Il trinomio mantiene il segno del coefficiente a ai due lati della radice e vale zero nel punto di tangenza. La radice viene inclusa soltanto quando il simbolo della disequazione comprende l’uguaglianza.
Si può risolvere una disequazione quadratica senza formula?
Sì, soprattutto nei casi incompleti o facilmente scomponibili. Se il trinomio può essere scritto come prodotto di due fattori, si trovano gli zeri dei fattori e si studia il segno del prodotto. Il risultato coincide con quello ottenuto mediante parabola, ma il calcolo può essere più rapido.
Perché le disequazioni di secondo grado servono per quelle fratte?
Nelle disequazioni fratte il numeratore o il denominatore possono essere polinomi quadratici. Per costruire la tabella complessiva bisogna conoscere il segno di ciascun trinomio. Le disequazioni di secondo grado costituiscono quindi un prerequisito diretto per affrontare correttamente rapporti tra polinomi.