Disequazioni fratte
Le disequazioni fratte contengono l’incognita al denominatore e si risolvono studiando il segno di un rapporto tra espressioni algebriche. In questa pagina trovi esercizi svolti passo passo per individuare le condizioni di esistenza, trovare gli zeri del numeratore e costruire una tabella dei segni completa.
A differenza di una normale disequazione, non è possibile eliminare il denominatore senza conoscerne il segno. Inoltre, i valori che lo annullano devono essere sempre esclusi, anche quando il simbolo comprende l’uguaglianza. Gli esercizi guidati aiutano a distinguere zeri e punti esclusi, ordinare correttamente i valori critici e scegliere gli intervalli che soddisfano la richiesta.
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Cosa si studia negli esercizi sulle disequazioni fratte
Una disequazione fratta viene ricondotta a un unico rapporto confrontato con zero. Il segno del rapporto dipende dal segno del numeratore e da quello del denominatore: il risultato è positivo quando hanno lo stesso segno e negativo quando hanno segno opposto.
I valori che annullano il numeratore possono appartenere alla soluzione nelle disequazioni con uguaglianza. I valori che annullano il denominatore, invece, non appartengono mai al dominio e devono essere rappresentati come punti esclusi.
- condizioni di esistenza
- riduzione a un’unica frazione
- zeri del numeratore
- zeri e segno del denominatore
- tabella dei segni del rapporto
- gestione di estremi inclusi e punti esclusi
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione fratta
$$-\frac{2}{x-3}-x < 0$$
Esercizio 2 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione fratta
$$\frac{2x^2+3x+5}{x^2-x+3} < -1$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione fratta
$$\frac{2x}{2x+2} + \frac{3x-2}{x^2+2x+1} + \frac{2-x}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} \geq 0$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione fratta numerica:
$$\frac{(x+1)(x+3)(x-6)}{x^2}<0$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{x}{2-2x}+1 \geq \frac{1}{3x-3}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{(x-2)^2-(x+2)^2}{4-2x}\geq 1- \frac{1}{3x-6}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{1}{2x+4}-\frac{1}{2-x} \geq -\frac{x+4}{2x+4}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{3x+1}{3x-1}-\frac{3x+2}{1-3x} < \frac{1}{3}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{x^2}{x+1} < \frac{1}{2}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{2}{2-x} > -\frac{x}{x-2}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{x-1}{2x} \cdot \frac{1}{2x-2} \leq 2$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{1}{x^2-2} \leq \frac{1}{x-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}x+2}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{1}{x^3+3x^2-x-3} + \frac{4}{5x+5} > \frac{1}{x^2-1}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\left(1-\frac{2}{x}\right)\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\right) \geq 2-x$$
Come affrontare le disequazioni fratte
Il dominio deve essere determinato prima di semplificare l’espressione, perché un fattore apparentemente eliminabile può lasciare un valore escluso.
- portare tutti i termini nello stesso membro;
- ridurre l’espressione a un’unica frazione;
- scrivere le condizioni di esistenza dal denominatore originale;
- scomporre numeratore e denominatore;
- trovare tutti gli zeri e ordinarli sulla retta;
- costruire la tabella dei segni dei singoli fattori;
- selezionare gli intervalli richiesti, includendo solo gli zeri ammessi del numeratore.
Gli errori più comuni sono moltiplicare per il denominatore senza conoscerne il segno, includere uno zero del denominatore, cancellare un fattore dimenticando il valore escluso o studiare soltanto il segno del numeratore.
Disequazioni fratte svolte passo passo
Gli svolgimenti guidati mostrano come costruire la tabella a partire da valori critici di natura diversa. Distinguere graficamente gli zeri del numeratore dai punti esclusi del denominatore rende più chiara la scelta degli intervalli.
Vedere tutti i passaggi è utile anche nei casi con fattori quadratici o potenze pari, nei quali il segno non cambia necessariamente attraversando uno zero. La molteplicità dei fattori deve essere considerata nella tabella.
Con l’allenamento diventa più semplice controllare dominio, segni e notazione degli intervalli, competenze necessarie anche nello studio di funzioni razionali.
A chi sono utili questi esercizi?
Gli esercizi sono indicati per chi deve recuperare lo studio del segno o chiarire la differenza tra uno zero e un valore non ammesso. Sono utili anche agli studenti che si preparano a una verifica e hanno bisogno di organizzare molti punti critici senza perdere informazioni.
Il percorso è adatto a chi ha difficoltà con frazioni algebriche, scomposizioni o intervalli e a chi vuole esercitarsi in autonomia confrontando la propria tabella con uno svolgimento completo.
Prova gli esercizi e controlla il dominio
Inizia dagli esercizi gratuiti scrivendo subito le condizioni di esistenza e mantenendole visibili fino alla soluzione finale.
Puoi poi accedere al percorso completo per allenarti con rapporti più articolati, fattori quadratici e casi con semplificazioni.
FAQ
Come si risolvono le disequazioni fratte?
Si porta l’espressione in un solo membro e la si riduce a un’unica frazione. Si determinano le condizioni di esistenza, poi si trovano gli zeri del numeratore e del denominatore. Ordinati tutti i valori critici, si costruisce la tabella dei segni del rapporto e si scelgono gli intervalli coerenti con il verso richiesto.
Perché non si può eliminare subito il denominatore?
Moltiplicare entrambi i membri per un’espressione contenente x può cambiare il verso della disequazione se quella espressione è negativa. Poiché il suo segno non è noto in anticipo, l’operazione non è sicura. È preferibile portare tutto a un’unica frazione e studiare separatamente il segno di numeratore e denominatore.
Gli zeri del denominatore possono essere inclusi?
No. Un valore che annulla il denominatore rende la frazione priva di significato e deve essere sempre escluso dal dominio. Questo vale anche quando la disequazione contiene maggiore o uguale oppure minore o uguale. L’uguaglianza può includere soltanto gli zeri ammessi del numeratore.
Che differenza c’è tra zero del numeratore e zero del denominatore?
Uno zero del numeratore rende la frazione uguale a zero, purché il denominatore non si annulli nello stesso punto. Può quindi essere incluso nelle disequazioni non strette. Uno zero del denominatore rende invece l’espressione non definita e deve comparire come punto escluso nella tabella e nella soluzione.
Cosa succede se numeratore e denominatore hanno un fattore comune?
Il fattore può essere semplificato algebricamente, ma il valore che annullava il denominatore originale resta escluso. Per questo le condizioni di esistenza vanno scritte prima della semplificazione. La forma ridotta aiuta nello studio del segno, mentre il dominio originale controlla quali punti non possono appartenere alla soluzione.
Come si controlla la soluzione di una disequazione fratta?
Puoi scegliere un valore di prova in ciascun intervallo e verificare il segno della frazione iniziale. Controlla inoltre che nessun valore escluso dal dominio sia stato inserito nella soluzione e che gli zeri del numeratore siano inclusi soltanto quando il simbolo della disequazione ammette l’uguaglianza.