Equazioni esponenziali e logaritmiche
Gli esercizi sulle equazioni esponenziali e logaritmiche richiedono di trovare i valori dell’incognita quando questa compare nell’esponente. In questa pagina trovi svolgimenti passo passo per imparare a riscrivere le potenze con una base comune, applicare sostituzioni e utilizzare i logaritmi quando non è possibile confrontare direttamente gli esponenti.
La difficoltà principale consiste nel riconoscere la forma dell’equazione. Alcuni esercizi si risolvono con le proprietà delle potenze, altri diventano equazioni algebriche nella variabile t = aˣ, mentre altri ancora richiedono il logaritmo. Le soluzioni guidate spiegano la scelta del metodo e i controlli necessari, senza limitarsi al risultato finale.
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Cosa si studia negli esercizi sulle equazioni esponenziali
Un’equazione esponenziale contiene l’incognita nell’esponente. Se le due potenze hanno la stessa base positiva e diversa da 1, l’uguaglianza delle potenze implica l’uguaglianza degli esponenti.
Quando le basi non sono immediatamente uguali, si può tentare di riscriverle come potenze dello stesso numero. Nelle equazioni con più termini esponenziali è spesso utile raccogliere una potenza o porre $t = a^x$, ricordando che $t$ è sempre positivo.
- equazioni con la stessa base
- riduzione a una base comune
- proprietà delle potenze
- raccoglimento di fattori esponenziali
- sostituzione $t = a^x$
- equazioni risolvibili con logaritmi
- controllo delle soluzioni
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$3^{2-x}+3^{3-x}=12$$
Esercizio 2 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\log_3(x-2) = 2$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\log_2(2x-1)+\log_2(x) = \log_2(x+4)$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$2^{x+2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2^{1-x} \cdot \sqrt[3]{2}}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$6^{-x}-3^{-x} = 9 \cdot 2^{-x}-9$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$2^{x+2}-2^{x+1} = 3^{x+2}-2 \cdot 3^{x+1}$$
Difficoltà ★☆☆
Un capitale di $C$ euro, impiegato per un tempo $t$ (anni) in regime di capitalizzazione composta al tasso d’interesse annuo $i$, produce un montante $M$ espresso dalla formula: $M = C \cdot (1+i)^t$. Quanti anni occorrono perchè un capitale, investito in un regime di capitalizzazione composta al tasso annuo del $4$%, raddoppi?
Difficoltà ★☆☆
La concentrazione di un farmaco nel sangue, dopo un tempo $t$ dalla somministrazione di una dose per via endovenosa, è espressa dalla funzione $C(t) = C_0 \cdot e^{-kt}$ dove $C_0 =$ concentrazione immediatamente dopo la somministrazione (ossia al tempo $t=0$), $k=$ costante positiva che dipende dal farmaco e dal metabolismo del paziente. Calcola l’emivita di un farmaco con $k=1$, dove l’emivita è il tempo affinchè la concentrazione del farmaco diventi la metà di quella iniziale.
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{\ln(x)-2}{\ln(x)+1} + \frac{\ln(x)+1}{\ln(x)} = \frac{2\ln(x)+5}{2\ln(x)+2}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{1}{2} \log_2(x+1)-1 = \log_2(4-x)$$
Come affrontare gli esercizi sulle equazioni esponenziali
Prima di applicare i logaritmi conviene verificare se l’equazione può essere semplificata con le proprietà delle potenze.
- controllare che le basi siano positive e diverse da 1;
- semplificare prodotti, quozienti e potenze di potenze;
- cercare una base comune tra i termini;
- raccogliere eventuali fattori esponenziali;
- se necessario porre $t = a^x$ con il vincolo $t > 0$;
- usare i logaritmi quando l’incognita non può essere isolata altrimenti;
- verificare la soluzione nell’equazione iniziale.
Gli errori più frequenti sono sommare impropriamente gli esponenti, dimenticare il vincolo positivo della sostituzione, applicare il logaritmo a una somma senza isolarla o confondere $\log(a + b)$ con $\log(a) + \log (b)$.
Esercizi di equazioni esponenziali svolti passo passo
Gli svolgimenti guidati aiutano a riconoscere il metodo più breve. Un’equazione apparentemente complessa può diventare elementare dopo aver riscritto tutti i numeri come potenze della stessa base.
Nei casi con sostituzione viene mostrato come risolvere l’equazione algebrica in t, eliminare i valori non positivi e tornare alla variabile x. Nei casi con logaritmi viene chiarito quali proprietà sono realmente applicabili.
Allenarsi con esempi diversi permette di consolidare sia le proprietà delle potenze sia l’uso consapevole dei logaritmi, preparando anche alle disequazioni esponenziali.
A chi sono utili questi esercizi?
Gli esercizi sono utili agli studenti che devono ripassare potenze e logaritmi o imparare a riconoscere basi equivalenti. Sono indicati anche per chi tende ad applicare subito i logaritmi senza cercare semplificazioni più dirette.
Il percorso aiuta chi si prepara a una verifica, chi incontra difficoltà con le sostituzioni e chi vuole allenarsi in autonomia con soluzioni che spiegano ogni scelta.
Riconosci la struttura prima di calcolare
Prova gli esercizi gratuiti cercando per prima cosa una base comune. Annota il metodo scelto prima di svolgere i calcoli.
Nel percorso completo trovi altri esercizi con sostituzioni, raccolgimenti e uso dei logaritmi.
FAQ
Come si risolvono le equazioni esponenziali?
Si semplificano le potenze e si cerca di ottenere la stessa base nei due membri. In tal caso si uguagliano gli esponenti. Se compaiono più termini si può raccogliere o usare la sostituzione $t = a^x$. Quando non è possibile, si possono applicare i logaritmi dopo aver isolato la potenza.
Quando si possono uguagliare gli esponenti?
Si possono uguagliare gli esponenti quando le potenze hanno la stessa base positiva e diversa da 1. Dall’uguaglianza $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ segue $f(x) = g(x)$ perché la funzione esponenziale è iniettiva. La base non può essere 1, poiché tutte le potenze varrebbero 1.
Quando si usa la sostituzione $t = a^x$?
La sostituzione è utile quando nell’equazione compaiono potenze come $a^{2x}$, $a^x$ e termini costanti. Ponendo $t = a^x$ si ottiene spesso un’equazione di secondo grado. Bisogna ricordare il vincolo $t > 0$ prima di tornare alla variabile $x$.
Quando servono i logaritmi in un’equazione esponenziale?
I logaritmi servono quando la potenza è isolata ma le basi non possono essere ricondotte facilmente allo stesso numero. Applicando il logaritmo a entrambi i membri si porta l’esponente davanti al logaritmo e si può isolare l’incognita, purché gli argomenti siano positivi.
Quali errori evitare con i logaritmi?
Non si può trasformare il logaritmo di una somma nella somma dei logaritmi. Prima di applicare il logaritmo bisogna isolare una quantità positiva. Inoltre è necessario usare correttamente le proprietà di prodotto, quoziente e potenza, evitando passaggi non equivalenti.
Come si verifica una soluzione esponenziale?
Si sostituisce il valore di x nell’equazione iniziale e si calcolano entrambi i membri. Questo controllo è importante soprattutto dopo sostituzioni o logaritmi. Permette di individuare errori di trasformazione e confermare che eventuali vincoli di positività siano rispettati.