Proporzioni e percentuali
Proporzioni e percentuali sono strumenti utilizzati nella matematica scolastica e in molte situazioni quotidiane. In questa pagina trovi esercizi svolti passo passo su termini incogniti, calcolo percentuale, aumenti, sconti e variazioni.
La difficoltà principale è capire quale grandezza rappresenta il totale, quale la parte e quale il valore percentuale. Gli esercizi guidati aiutano a tradurre il testo in una proporzione o in una formula e a controllare se il risultato è ragionevole.
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Cosa si studia negli esercizi su proporzioni e percentuali
Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti. La proprietà fondamentale afferma che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi e permette di calcolare un termine incognito.
La percentuale esprime una parte rispetto a cento. Può essere usata per calcolare sconti, aumenti, interessi, variazioni e confronti tra quantità.
- rapporti e proporzioni
- proprietà fondamentale
- termine incognito
- percentuale di una quantità
- calcolo del totale e della parte
- aumenti e diminuzioni percentuali
- problemi di proporzionalità diretta e inversa
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Per dipingere una parete rettangolare larga $5$m e alta $2$m occorrono $1,5$kg di vernice. Quanta vernica occorre per dipingere una parete rettangolare larga $6$m e alta $3$m?
Difficoltà ★☆☆
Un capo di abbigliamento, che veniva venduto al prezzo di $120$€, dopo aver subito uno sconto viene venduto a $75$€. Calcola la percentuale che rappresenta lo sconto.
Difficoltà ★☆☆
Una bottiglia è piena per tre quarti di acqua e con essa si riescono a riempire completamente $5$ bicchieri uguali. Quanti bicchieri uguali ai precedenti si possono riempire con $3$ bottiglie dello stesso tipo interamente piene d’acqua?
Difficoltà ★☆☆
Per preparare $480$g di marmellata di albicocche una ricetta prevede $1,2$kg di albicocche e $240$g di zucchero.
- In base a questa ricetta, quanti kg di albicocche e quanti g di zucchero occorrono per preparare $1,5$kg di marmellata?
- Proporzionando la ricetta per utilizzare $4$kg di albicocche, quanti kg di marmellata si otterranno?
Difficoltà ★☆☆
Un corso è seguito da $250$ studenti. Il $56$% superano l’esame al primo appello, mentre il $30$% dei restanti vengono promossi al secondo appello. Quanti studenti devono ancora superare l’esame?
Difficoltà ★☆☆
Il numero degli abitanti della città $A$ è passato in un anno da $120.000$ a $126.000$. Il numero degli abitanti della citta $B$ è passato da $80.000$ a $85.000$. In quale città si è avuto il maggiore incremento assoluto del numero di abitanti? In quale città il maggiore aumento percentuale?
Difficoltà ★☆☆
Dopo aver letto il $65$% delle pagine di un libro, a Rosa rimangono da leggere $119$ pagine. Quante sono complessivamente le pagine del libro?
Difficoltà ★☆☆
Gli alimentari sono soggetti a una IVA agevolata al $4$%. Il prezzo di una fornitura di alimentari, inclusa IVA, è stato di $260$€. A quanto ammonta il prezzo al netto dell’IVA? Quale sarebbe stato il prezzo della fornitura con l’IVA normale, cioè al $22$%?
Difficoltà ★☆☆
Una signora acquista un’auto a km $0$ al prezzo di $18.000$€. Dopo un anno il prezzo dell’auto si svaluta del $10$%. Dopo un altro anno il nuovo prezzo si svaluta ulteriormente del $15$%. Qual è il valore dell’auto dopo due anni? Qual è la percentuale che esprime di quanto si svaluta complessivamente l’auto in due anni rispetto al valore di acquisto?
Difficoltà ★☆☆
La classe di una scuola è composta per il $75$% da studenti maschi. Fra i maschi, i maggiorenni sono i $\frac{3}{7}$, fra le femmine le maggiorenni sono i $\frac{5}{7}$. Sapendo che gli studenti minorenni della classe sono in tutto $14$, determina quanti sono complessivamente gli studenti della classe.
Difficoltà ★☆☆
Barbara investe $24.000$€; al $2,4$% annuo. Quale interesse potrà riscuotere dopo $8$ mesi?
Difficoltà ★☆☆
Due soci investono, rispettivamente, $120.000$€ e $150.000$€ per acquistare un vecchio casale. Una volta ristrutturato il casale lo rivendono, guadagnando complessivamente $90.000$€. Se decidono di spartirsi il guadagno in maniera direttamente proporzionale al capitale inizialmente investito, quanto spetta a ciascuno dei due soci?
Difficoltà ★☆☆
Una malattia colpisce lo $0,8$% della popolazione del centro-nord Italia, e lo $0,5$% della popolazione del centro-sud. Sapendo che il $60$% della popolazione italiana si concentra nel centro-nord, qual è la prevalenza complessiva della malattia in Italia?
Difficoltà ★☆☆
Una confezione di biscotti da $250g$ costa $2$€, mentra un’altra confezione di biscotti da $300g$ costa $2,2$€. Economicamente quale confezione conviene comprare?
Difficoltà ★★☆
Paolo vince al lotto. Utilizza il $75\%$ della somma vinta per comprare una moto, poi il $76\%$ della cifra restante per comprare dei regali e infine con i $270$€ rimasti festeggia con degli amici al ristorante. Quanto ha vinto Paolo?
Come affrontare proporzioni e percentuali
Nei problemi conviene identificare prima le grandezze e le unità di misura.
- stabilire quali quantità vengono confrontate;
- mantenere lo stesso ordine nei due rapporti;
- usare la proprietà fondamentale per trovare l’incognita;
- individuare totale, parte e percentuale;
- trasformare la percentuale in frazione o numero decimale;
- distinguere il valore iniziale da quello finale;
- controllare il risultato con una stima.
Gli errori più comuni sono invertire i termini di un rapporto, applicare la percentuale al valore sbagliato e confondere aumento percentuale con valore finale.
Esercizi su proporzioni e percentuali svolti passo passo
Gli svolgimenti mostrano come passare dal linguaggio del problema a una relazione matematica. Questo è utile nei contesti con prezzi, ricette, scale, velocità e dati statistici.
Vedere tutti i passaggi aiuta a distinguere tra calcolo della parte, del totale e della percentuale e a capire perché uno sconto seguito da un aumento uguale non riporta sempre al valore iniziale.
La pratica guidata rende più sicuri nei problemi reali e negli argomenti successivi di matematica finanziaria e statistica.
A chi sono utili questi esercizi?
Sono utili a chi deve recuperare frazioni e rapporti o incontra difficoltà nel trasformare un testo in calcolo.
Sono adatti alla preparazione di verifiche e all’allenamento autonomo con situazioni concrete.
Individua totale, parte e percentuale
Prova gli esercizi gratuiti sottolineando nel testo le grandezze coinvolte.
Nel percorso completo trovi problemi su sconti, aumenti, proporzioni e variazioni percentuali.
FAQ
Come si risolve una proporzione?
Si applica la proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Dopo aver scritto correttamente i rapporti, si isola il termine incognito dividendo il prodotto noto per il termine rimasto.
Come si calcola una percentuale di un numero?
Si moltiplica il numero per la percentuale espressa come frazione su cento o come numero decimale. Ad esempio, il 20% di 50 si calcola con 50×0,20, ottenendo 10.
Come si trova il totale conoscendo parte e percentuale?
Si divide la parte per la percentuale espressa in forma decimale. Se 30 rappresenta il 15% del totale, il totale è 30/0,15. È utile controllare che il totale sia maggiore della parte.
Come si calcola uno sconto percentuale?
Prima si calcola l’importo dello sconto moltiplicando il prezzo iniziale per la percentuale. Poi si sottrae lo sconto dal prezzo iniziale. In alternativa si moltiplica direttamente per il fattore rimanente, ad esempio 0,80 per uno sconto del 20%.
Qual è la differenza tra aumento percentuale e valore finale?
L’aumento percentuale è la quantità aggiunta al valore iniziale; il valore finale comprende sia il valore iniziale sia l’aumento. Per un aumento del 10%, il fattore complessivo è 1,10.
Come capire se due grandezze sono direttamente proporzionali?
Sono direttamente proporzionali quando il loro rapporto rimane costante: se una raddoppia, raddoppia anche l’altra. Nella proporzionalità inversa, invece, rimane costante il prodotto e una grandezza diminuisce quando l’altra aumenta.