Sistemi di equazioni
I sistemi di equazioni permettono di determinare valori che soddisfano contemporaneamente più relazioni. In questa pagina trovi esercizi svolti passo passo con i metodi di sostituzione, confronto, riduzione e Cramer, oltre all’interpretazione grafica.
La difficoltà principale è scegliere il metodo più conveniente e mantenere ordinati i passaggi. Gli esercizi guidati mostrano come evitare errori di segno, verificare la soluzione e riconoscere sistemi determinati, impossibili o indeterminati.
14,90 €
Cosa si studia nei sistemi di equazioni
Un sistema lineare in due incognite rappresenta due equazioni da verificare contemporaneamente.
Geometricamente, ogni equazione descrive una retta e la soluzione corrisponde al loro punto di intersezione.
I sistemi possono avere una soluzione, nessuna soluzione o infinite soluzioni. Si affrontano anche problemi che richiedono di costruire il sistema a partire dal testo.
- metodo di sostituzione
- metodo del confronto
- metodo di riduzione
- regola di Cramer
- sistemi determinati, impossibili e indeterminati
- interpretazione grafica
- problemi risolvibili con sistemi
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Esercizio 2 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Difficoltà ★☆☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
y = (2x-1)^2-(2x-1)(2x+1) \\
x+y=-1
\end{cases}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
\frac{x-y}{2}-\frac{2x+y}{10} = \frac{1}{5}+\frac{x}{4} \\
x+9y = -5
\end{cases}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
\frac{x-1}{2}=(2y-1)^2-(2y+1)^2 \\
x = \frac{y-1}{2}
\end{cases}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
x = 2y-1 \\
y^2 = (y-1)^2+x
\end{cases}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
\frac{x-4}{2}+\frac{y+1}{3} = -1 \\
4x+y = x-y-1
\end{cases}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
\left(\frac{x}{3}-1\right)^2=\left(\frac{x}{3}+1\right)\left(\frac{x}{3}-1\right)-y \\
x+3y+y^2 = (y+2)(y-2)
\end{cases}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
\frac{x-y}{8}+\frac{x-6}{4} = \frac{x-y}{6}+\frac{x-2}{3} \\
\frac{1}{2}(x-4)+\frac{1}{3}(3x-y) = -9
\end{cases}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
(2-3y)(2+3y)=x-(3y-1)^2 \\
x-y=1
\end{cases}$$
Difficoltà ★☆☆
Se compro due biglietti per la partita e uno per il concerto spendo $100$ euro. Se compro un biglietto per la partita e due per il concerto spendo $110$ euro. Quanto costa un biglietto per la partita e quanto uno per il concerto?
Difficoltà ★☆☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
\frac{1}{2}x-(y-1)^2=(1-y)(1+y) \\
\frac{1}{2}x+y=3
\end{cases}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
\frac{1}{x^2-xy}=\frac{1}{xy-y^2}+\frac{2}{x^2y-xy^2} \\
2x-y+1-(x+y-2)=0
\end{cases}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi e discuti il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
x+y+a = 2a-2x \\
x-ay = 1
\end{cases}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi e discuti il seguente sistema lineare
$$\begin{cases}
2mx+(m+1)y = 2 \\
mx+(2-m)y = 1
\end{cases}$$
Come affrontare i sistemi di equazioni
La scelta del metodo dipende dalla forma delle equazioni.
- semplificare entrambe le equazioni;
- scegliere l’incognita più facile da isolare o eliminare;
- applicare il metodo senza saltare passaggi;
- sostituire il valore trovato nell’altra equazione;
- scrivere la coppia ordinata soluzione;
- verificare in entrambe le equazioni;
- interpretare il risultato nel contesto del problema.
Gli errori più comuni sono cambiare male i segni, sostituire solo in una parte dell’equazione e non verificare la coppia finale.
Sistemi di equazioni svolti passo passo
Gli svolgimenti mettono a confronto i diversi metodi e mostrano perché una strategia può essere più rapida di un’altra.
Vedere tutti i passaggi aiuta a comprendere la relazione tra soluzione algebrica e intersezione delle rette.
La pratica guidata prepara a geometria analitica, problemi con più incognite e sistemi non lineari.
A chi sono utili questi esercizi?
Sono utili a chi deve recuperare equazioni di primo grado o fatica a organizzare sostituzioni e riduzioni.
Sono indicati per verifiche e studio autonomo con problemi progressivi.
Scegli il metodo più semplice per i dati disponibili
Inizia dagli esercizi gratuiti e verifica sempre la coppia soluzione.
Nel percorso completo trovi metodi diversi, problemi e sistemi con forme più articolate.
FAQ
Che cos’è un sistema di equazioni?
È un insieme di equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente dalle stesse incognite. La soluzione è una coppia o una tupla di valori che rende vere tutte le equazioni del sistema.
Quando conviene usare la sostituzione?
Conviene quando una delle incognite è già isolata o può essere isolata facilmente. Si sostituisce la sua espressione nell’altra equazione, ottenendo un’equazione con una sola incognita.
Quando conviene usare la riduzione?
È utile quando i coefficienti di una stessa incognita sono uguali o opposti, oppure possono diventarlo con semplici moltiplicazioni. Sommando o sottraendo le equazioni si elimina una variabile.
Come si riconosce un sistema impossibile?
Durante la risoluzione si ottiene un’uguaglianza falsa, come 0=3. Geometricamente le rette sono parallele e distinte, quindi non hanno punti in comune.
Come si riconosce un sistema indeterminato?
Si ottiene un’identità vera, come 0=0, e le equazioni sono equivalenti. Geometricamente rappresentano la stessa retta e il sistema possiede infinite soluzioni.
Come si verifica la soluzione di un sistema?
Si sostituiscono i valori trovati in entrambe le equazioni originali. La coppia è corretta solo se entrambe le uguaglianze risultano vere. La verifica aiuta a individuare errori di calcolo o di segno.