Disequazioni esponenziali e logaritmiche
Le disequazioni esponenziali contengono l’incognita nell’esponente e richiedono di confrontare potenze o espressioni riconducibili alla stessa base. In questa pagina trovi esercizi svolti passo passo per capire quando confrontare gli esponenti, quando usare una sostituzione e come gestire correttamente il verso della disequazione.
Il punto centrale è la monotonia della funzione esponenziale: con base maggiore di 1 la funzione è crescente, mentre con base compresa tra 0 e 1 è decrescente. Questa differenza determina se il verso resta invariato oppure deve essere invertito. Gli esercizi guidati rendono esplicito ogni passaggio e aiutano a scegliere il metodo adatto senza applicare regole in modo automatico.
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Cosa si studia nelle disequazioni esponenziali
Una disequazione esponenziale confronta espressioni in cui la variabile compare nell’esponente. I casi più diretti hanno la stessa base, come $a$ elevato a $f(x)$ maggiore di $a$ elevato a $g(x)$. Se la base è positiva e diversa da 1, il confronto può essere trasferito agli esponenti tenendo conto della monotonia.
Altri esercizi richiedono di trasformare numeri e potenze in una base comune, raccogliere un fattore esponenziale oppure introdurre una sostituzione, ad esempio $t = a^x$. Poiché $a^x$ è sempre positivo, la variabile sostitutiva deve rispettare il vincolo $t > 0$.
- confronto tra potenze con la stessa base
- basi maggiori di 1 e basi comprese tra 0 e 1
- riduzione a una base comune
- raccoglimento di fattori esponenziali
- sostituzioni nelle disequazioni esponenziali
- controllo dei vincoli sulla nuova variabile
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\log_3(x^2-2x) > 1$$
Esercizio 2 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione applicando il metodo necessario
$$2^x < \frac{7^{x+1}}{2}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$1+\log_{\frac{1}{4}}\left(1-\frac{1}{2}x\right) \geq -1$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$5^{x^2-1} \cdot 25^{x} \geq \left(\frac{1}{5}\right)^{x-\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{5}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\log_{\frac{1}{3}}^2(x) -4\log_{\frac{1}{3}}(x) +3 < 0 $$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione applicando il metodo necessario
$$2^{2x+1}+7\cdot 2^x-4 \leq 0$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\log_2(x)-\log_2(x-1) \leq 2$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione applicando il metodo necessario
$$(e^x-1)^2 \geq 2e^x-2$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente disequazione applicando il metodo necessario
$$2^{3-x}-4^{2x-1}<0$$
Difficoltà ★☆☆
Studiando la stesura della fibra ottica è importante stabilire la massima distanza copribile tra trasmettitore e ricevitore senza l’utilizzo di amplificatori. Nello specifico, è importante il coefficiente di attenuazione ($A$), che misura l’attenuazione che subisce il segnale della fibra quando passa per una determinata lunghezza. Il coefficiente, misurato in db/km, è definito come $A = \frac{10}{L} \cdot \log\left(\frac{P_{\text{in}}}{P_{\text{out}}}\right)$ dove $L=$lunghezza della fibra, $P_{\text{in}}=$potenza del segnale in entrata e $P_{\text{out}}=$potenza in uscita. Supponi di avere una fibra con coefficiente di attenuazione uguale a $0,25$db/km. Mettendo un amplificatore dopo $40$km, quanto segnale può perdere al massimo?
Difficoltà ★☆☆
Marco ha un capitale di $10.000$€. Si stima che il valore del denaro diminuisca del $2$% ogni anno a causa dell’inflazione. Sia $C_t$ il valore del capitale nel tempo: per $t = 0$, ossia oggi, $C_0 = 10.000$€. Esprimi $C_t$ in funzione del tempo $t$. Stabilisci poi dopo quanti anni il capitale di Marco avrà perso più del $50$% del suo valore.
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\frac{1}{2}\log_2(x)-\log_2(x-1) \leq \frac{1}{2}$$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\log_3\left(\log_3(x+1)\right) < 0 $$
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente disequazione
$$\left( \frac{4}{5} \right)^2 \left(\frac{5}{4} \right)^x \leq \sqrt[x+2]{\frac{5}{4}}$$
Come affrontare le disequazioni esponenziali
Prima di usare logaritmi o sostituzioni conviene verificare se le espressioni possono essere riscritte con la stessa base.
- controllare che le basi siano positive e diverse da 1;
- provare a esprimere tutti i termini con una base comune;
- stabilire se la funzione esponenziale è crescente o decrescente;
- confrontare gli esponenti, mantenendo o invertendo il verso;
- se necessario, porre $t = a^x$ e risolvere la disequazione algebrica;
- intersecare la soluzione in $t$ con il vincolo $t > 0$;
- tornare alla variabile $x$ e verificare il risultato.
Gli errori più frequenti sono dimenticare l’inversione del verso con una base tra 0 e 1, trattare $a^x$ come se potesse essere negativo oppure effettuare una sostituzione senza considerare il suo dominio.
Esercizi esponenziali svolti passo passo
Gli svolgimenti completi mostrano come riconoscere la struttura dell’esercizio prima di iniziare i calcoli. Alcune disequazioni si risolvono in poche righe confrontando gli esponenti; altre diventano disequazioni di secondo grado nella variabile sostitutiva.
Vedere i passaggi aiuta a capire perché il vincolo di positività elimina alcune soluzioni ottenute algebricamente. Questo controllo è essenziale e distingue una soluzione formalmente eseguita da una soluzione completa.
L’allenamento progressivo permette di affrontare anche esercizi con somme di potenze, basi reciproche e trasformazioni meno immediate, sviluppando un metodo utile per verifiche e studio autonomo.
A chi sono utili questi esercizi?
Gli esercizi sono utili agli studenti che conoscono le proprietà delle potenze ma faticano ad applicarle nelle disequazioni. Sono indicati anche per chi deve ripassare il comportamento crescente o decrescente della funzione esponenziale.
Il percorso aiuta chi si prepara a una verifica, chi commette errori nelle sostituzioni e chi vuole allenarsi in autonomia con casi di difficoltà progressiva. Le soluzioni guidate permettono di controllare non soltanto il risultato, ma anche la scelta della strategia.
Prova gli esercizi e riconosci la strategia giusta
Inizia dagli esercizi gratuiti e chiediti, prima di svolgere i calcoli, se puoi ottenere una base comune oppure se è più utile introdurre una sostituzione.
Nel percorso completo puoi allenarti con altre tipologie e consolidare il controllo della monotonia e dei vincoli.
FAQ
Come si risolvono le disequazioni esponenziali?
Si cerca prima di riscrivere le potenze con la stessa base. Se la base è maggiore di 1 si confrontano gli esponenti mantenendo il verso; se è compresa tra 0 e 1 il verso si inverte. Quando compaiono più potenze della stessa espressione, può essere utile introdurre una sostituzione e risolvere una disequazione algebrica.
Quando si inverte il verso in una disequazione esponenziale?
Il verso si inverte quando si confrontano gli esponenti di potenze con la stessa base compresa tra 0 e 1. In questo intervallo la funzione esponenziale è decrescente: a un esponente maggiore corrisponde un valore più piccolo. Con una base maggiore di 1, invece, la funzione è crescente e il verso rimane invariato.
Come si portano due potenze alla stessa base?
Si scompongono le basi e si cercano potenze equivalenti. Per esempio, 8 può essere scritto come $2^3$ e $\frac{1}{4}$ come $2^{-2}$. Dopo la trasformazione, le proprietà delle potenze permettono di riscrivere entrambi i membri con una sola base e confrontare gli esponenti secondo la monotonia della funzione.
Quando si usa la sostituzione t uguale a una potenza?
La sostituzione è utile quando compaiono potenze collegate, come $a^{2x}$ e $a^x$. Ponendo $t = a^x$, la potenza di esponente doppio diventa $t^2$ e la disequazione si trasforma in un problema algebrico. Bisogna però ricordare che $t$ è sempre positivo e scartare eventuali soluzioni non compatibili.
Si possono usare i logaritmi nelle disequazioni esponenziali?
Sì, quando entrambi i membri sono positivi e non è possibile ottenere facilmente una base comune. Applicando un logaritmo crescente, come il logaritmo naturale, il verso resta invariato. Occorre comunque controllare la positività delle espressioni e usare correttamente le proprietà dei logaritmi.
Quali sono gli errori più comuni nelle disequazioni esponenziali?
Gli errori più frequenti sono ignorare il valore della base, dimenticare che una potenza con base positiva è sempre positiva, applicare una sostituzione senza il vincolo $t > 0$ e usare proprietà delle potenze non valide sulle somme. È utile scrivere esplicitamente la base e la sua monotonia prima di confrontare gli esponenti.