Limiti
Gli esercizi sui limiti aiutano a descrivere il comportamento di una funzione quando la variabile si avvicina a un valore finito oppure tende all’infinito. In questa pagina trovi svolgimenti passo passo per riconoscere le forme indeterminate e scegliere trasformazioni come scomposizione, razionalizzazione o uso dei limiti notevoli.
La sostituzione diretta è sempre il primo controllo, ma non sempre conclude l’esercizio. Se compare una forma indeterminata bisogna analizzare la struttura dell’espressione. Gli esercizi guidati spiegano come intervenire senza applicare tecniche in modo meccanico e come verificare la coerenza del risultato.
17,90 €
Cosa si studia negli esercizi sui limiti
Il limite esprime il valore verso cui tende una funzione in prossimità di un punto o all’infinito. Può essere finito, infinito oppure non esistere. I limiti destro e sinistro permettono di studiare comportamenti differenti ai due lati.
Le forme indeterminate più comuni sono 0/0, ∞/∞, ∞-∞ e 0·∞. Ciascuna richiede trasformazioni coerenti con la struttura dell’espressione.
- limiti finiti e infiniti
- limiti destro e sinistro
- forme indeterminate
- scomposizione e semplificazione
- razionalizzazione
- confronto tra infiniti
- limiti notevoli
- asintoti e continuità
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite
$$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} \frac{x}{x^2-4}$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite
$$\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{6-x}}$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite
$$\lim_{x \to 0^{+}} \left(\frac{3}{1+x} – \frac{1}{x}\right)$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite
$$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\ln(x)+x}$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3+6x+5}{x+4}$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite
$$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{4\ln(x)}{\sin(x)-1}$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite
$$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2-2x+2} -\sqrt{x^2+2}$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite:
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{5x}-1}{x^2+x}$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite:
$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^2+x-12}$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite:
$$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{\ln(2x^2+1)}$$
Difficoltà ★☆☆
Data la seguente funzione, individua i suoi punti di discontinuità e la relativa specie.
$$y = \frac{|x|}{x}\cdot 2^{\frac{1}{x-1}}$$
Difficoltà ★☆☆
Data la seguente funzione, individua i suoi punti di discontinuità e la relativa specie.
$$y = \frac{x^2-2x}{x^2-4}$$
Difficoltà ★☆☆
Calcola il seguente limite:
$$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln(x)}{1+2\ln^2(x)}$$
Difficoltà ★★☆
Calcola il seguente limite:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x}$$
Difficoltà ★★☆
Calcola il seguente limite:
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\sin(2x)}$$
Come affrontare gli esercizi sui limiti
Un metodo ordinato parte sempre dalla sostituzione e dalla classificazione del risultato.
- sostituire il valore verso cui tende x;
- riconoscere se il risultato è determinato o indeterminato;
- scomporre e semplificare nei casi 0/0;
- raccogliere la potenza dominante nei casi all’infinito;
- razionalizzare quando compaiono differenze di radicali;
- ricondurre l’espressione a un limite notevole se possibile;
- controllare segno e comportamento laterale.
Gli errori più comuni sono semplificare addendi, usare limiti notevoli senza rispettarne la forma e ignorare il segno nei limiti infiniti.
Esercizi sui limiti svolti passo passo
Gli svolgimenti mostrano come la stessa forma indeterminata possa richiedere tecniche diverse. Non è la scrittura 0/0 a determinare da sola il metodo: conta la struttura di numeratore e denominatore.
La spiegazione passo passo aiuta a riconoscere fattori comuni, termini dominanti e coniugati. Nei limiti notevoli evidenzia le sostituzioni necessarie per ottenere esattamente la forma conosciuta.
La pratica guidata prepara allo studio di continuità, asintoti, derivate e grafico di funzione.
A chi sono utili questi esercizi?
Sono utili a chi deve recuperare algebra, scomposizioni o gestione dell’infinito e a chi confonde le diverse forme indeterminate.
Sono indicati per verifiche, maturità e primi corsi universitari, oltre che per lo studio autonomo.
Classifica il limite prima di trasformarlo
Prova gli esercizi gratuiti iniziando sempre dalla sostituzione diretta.
Nel percorso completo trovi forme indeterminate progressive, limiti notevoli e applicazioni agli asintoti.
FAQ
Come si calcola un limite?
Si prova innanzitutto a sostituire il valore verso cui tende la variabile. Se si ottiene un valore determinato, il limite è concluso. Se compare una forma indeterminata, si trasforma l’espressione con scomposizione, razionalizzazione, confronto tra infiniti o limiti notevoli.
Che cos’è una forma indeterminata?
È una forma simbolica, come 0/0 o ∞/∞, che non permette di stabilire direttamente il valore del limite. Non rappresenta il risultato finale: segnala che numeratore e denominatore devono essere analizzati e trasformati.
Come si risolve un limite 0/0?
Spesso si scompongono numeratore e denominatore per eliminare un fattore comune. Se sono presenti radicali può essere utile razionalizzare. In altri casi si applicano limiti notevoli. Dopo la trasformazione si ripete la sostituzione.
Come si calcolano i limiti all’infinito di funzioni razionali?
Si confrontano i gradi di numeratore e denominatore oppure si divide per la massima potenza di x presente. Se il grado del numeratore è minore il limite è zero; se è uguale conta il rapporto dei coefficienti principali.
Quando si usa la razionalizzazione?
Si usa soprattutto quando compare una differenza di radicali che produce una forma indeterminata. Moltiplicando per il coniugato si applica la differenza di quadrati e si elimina il radicale problematico, rendendo possibile la semplificazione.
A cosa servono i limiti nello studio di funzione?
Permettono di analizzare il comportamento vicino ai punti esclusi e all’infinito, individuare asintoti e verificare la continuità. Sono inoltre la base per definire la derivata e comprendere la variazione locale di una funzione.