Equazioni di secondo grado
Le equazioni di secondo grado e gli esercizi svolti aiutano a comprendere come trovare le radici di un trinomio nella forma ax² + bx + c = 0. In questa pagina trovi un percorso passo passo per riconoscere equazioni complete e incomplete, calcolare il discriminante e applicare la strategia più adatta.
La formula risolutiva è importante, ma non è l’unico metodo disponibile. Alcune equazioni possono essere risolte rapidamente con raccoglimenti, legge di annullamento del prodotto o estrazione della radice. Gli esercizi guidati spiegano come scegliere il procedimento, interpretare il numero delle soluzioni e controllare il risultato.
Le equazioni di secondo grado e gli esercizi svolti aiutano a comprendere come trovare le radici di un trinomio nella forma ax² + bx + c = 0. In questa pagina trovi un percorso passo passo per riconoscere equazioni complete e incomplete, calcolare il discriminante e applicare la strategia più adatta.
La formula risolutiva è importante, ma non è l’unico metodo disponibile. Alcune equazioni possono essere risolte rapidamente con raccoglimenti, legge di annullamento del prodotto o estrazione della radice. Gli esercizi guidati spiegano come scegliere il procedimento, interpretare il numero delle soluzioni e controllare il risultato.
14,90 €
Cosa si studia negli esercizi sulle equazioni di secondo grado
Un’equazione di secondo grado ha coefficiente a diverso da zero. Il discriminante $\Delta = b^2 – 4ac$ stabilisce il numero delle soluzioni reali: due soluzioni distinte se $\Delta$ è positivo, una soluzione doppia se $\Delta$ è zero e nessuna soluzione reale se $\Delta$ è negativo.
Le equazioni incomplete possono essere pure, spurie o monomie e spesso si risolvono senza la formula generale. Riconoscere la forma consente di ridurre i calcoli e di evitare errori inutili.
- equazioni complete e incomplete
- calcolo del discriminante
- formula risolutiva
- equazioni pure, spurie e monomie
- somma e prodotto delle radici
- scomposizione del trinomio
- verifica delle soluzioni
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\frac{x^2+2x}{6} +\frac{x^2}{3} = -1$$
Difficoltà ★☆☆
In un triangolo $ABC$, l’altezza $CH$ relativa alla base $AB$ è $5cm$ in meno della base stessa. L’area del triangolo è $42cm^2$. Determina le lunghezze del lato $AB$ e dell’altezza $CH$.
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$(x-1)^2+(x+1)^2 = (x+1)(x-1)+5$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$x^2-\frac{1}{2}(x+1)^2 = 1 – \frac{x+3}{2}$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\left(\frac{x}{2}+3\right)^2-2\left(\frac{x}{2}+3\right)(2x-1) +(2x-1)^2 = 0$$
Difficoltà ★☆☆
Moltiplicando per $5$ il maggiore di due numeri naturali consecutivi si ottiene il doppio della somma dei quadrati dei due numeri. Quali sono i numeri?
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$(2x+1)^2-(2x-1)^2 = (-4+x)(4+x)$$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = (2x-1)(2x+1)-2$$
Difficoltà ★☆☆
Un architetto sta progettando la ristrutturazione di una casa. Nel progetto originario le dimensioni della sala, a pianta rettangolare, sono $6m$ per $4m$. La richiesta del proprietario è di raddoppiare l’area della sala e l’architetto vorrebbe soddisfare questa richiesta aumentando della stessa lunghezza le due dimensioni originarie della sala. Quale deve essere questa lunghezza?
Difficoltà ★☆☆
Determina per quali valori di $k$ l'equazione $x^2-2kx-3 = 0$ soddisfa le seguenti condizioni:
- a) le soluzioni sono reali e opposte;
- b) le soluzioni sono reali e reciproche;
- c) una delle soluzioni è $-4$.
Difficoltà ★☆☆
Risolvi, senza fare conti, la seguente equazione
$$ (x-2)^2+x^2 = -1 $$
Difficoltà ★☆☆
Risolvi la seguente equazione
$$\left(\frac{x}{2}-\frac{x+1}{3}\right)\left(\frac{x}{2}+\frac{x-1}{4}-\frac{1}{3}\right)= 0$$
Difficoltà ★★☆
Un pasticcere ha notato che vendendo un certo tipo di torta al prezzo di $15$€ l'una riesce a venderne $20$ a settimana, mentre se il prezzo sale a $18$€ riesce a venderne $14$. Il pasticcere deve sostenere, per la preparazione di ciascuna torta, un costo complessivo pari a $5$€. Supponendo che la quantità di torte vendute dipenda dal prezzo in modo lineare, determina quale prezzo dovrebbe fissare il pasticcere affinchè il profitto settimanale risulti di $182$€.
Difficoltà ★★☆
Risolvi la seguente equazione
$$(x-\sqrt{3})^2-2x+2\sqrt{3} = 3(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$$
Come affrontare gli esercizi sulle equazioni di secondo grado
Prima di applicare la formula conviene ordinare l’equazione e osservare se manca qualche termine.
- portare tutti i termini nello stesso membro;
- ordinare il polinomio secondo le potenze di $x$;
- identificare i coefficienti $a$, $b$ e $c$ con i rispettivi segni;
- riconoscere se l’equazione è completa o incompleta;
- scegliere tra scomposizione, estrazione della radice o formula;
- calcolare e interpretare il discriminante;
- scrivere e verificare le soluzioni.
Gli errori più comuni riguardano il segno di $b$ nella formula, il calcolo del quadrato, la divisione per $2a$ e il trattamento dei casi con delta negativo. Un controllo mediante somma e prodotto delle radici può confermare il risultato.
Equazioni di secondo grado: esercizi svolti passo passo
Gli esercizi svolti mostrano perché alcune forme richiedono pochi passaggi mentre altre necessitano della formula completa. In questo modo si impara a scegliere il metodo più efficiente e non a utilizzare sempre lo stesso schema.
La spiegazione del discriminante chiarisce il legame tra calcolo algebrico e intersezioni della parabola con l’asse x. Questo aiuta a interpretare correttamente il numero delle radici e prepara allo studio delle disequazioni quadratiche.
Allenarsi con esempi completi, incompleti e scomponibili permette di gestire meglio verifiche, problemi geometrici e argomenti successivi.
A chi sono utili questi esercizi?
Gli esercizi sono utili a chi deve recuperare la formula risolutiva o distinguere le diverse forme delle equazioni quadratiche. Sono indicati anche per chi commette errori nell’identificazione dei coefficienti.
Il percorso è adatto a chi si prepara a una verifica, a chi vuole collegare equazioni e parabola e a chi desidera allenarsi in autonomia con spiegazioni progressive.
Scegli il metodo prima della formula
Inizia dagli esercizi gratuiti e prova a classificare ogni equazione prima di svolgerla. Riconoscere la forma spesso dimezza i calcoli.
Nel percorso completo puoi allenarti con equazioni complete, incomplete e problemi applicativi.
FAQ
Come si risolve un’equazione di secondo grado?
Si porta l’equazione nella forma $ax^2 + bx + c = 0$ e si identificano i coefficienti. Se è completa si può calcolare il discriminante e usare la formula risolutiva. Se è incompleta conviene spesso raccogliere $x$, estrarre la radice o applicare la legge di annullamento del prodotto.
Che cosa indica il discriminante?
Il discriminante $\Delta = b^2 – 4ac$ indica il numero di soluzioni reali. Se è positivo ci sono due radici distinte, se è zero c’è una radice doppia, se è negativo non ci sono soluzioni reali. Geometricamente descrive le intersezioni della parabola con l’asse $x$.
Quali sono le equazioni di secondo grado incomplete?
Sono equazioni in cui manca il termine di primo grado, il termine noto o entrambi. Le pure hanno $b = 0$, le spurie hanno $c = 0$ e le monomie hanno $b = c = 0$. Ogni forma dispone di un metodo rapido che evita la formula generale.
Come si risolve un’equazione spuria?
Un’equazione spuria ha forma $ax^2 + bx = 0$. Si raccoglie $x$ ottenendo $x(ax + b) = 0$ e si applica la legge di annullamento del prodotto. Le soluzioni sono $x = 0 e x = -\frac{b}{a}$.
Come si controllano le radici di un’equazione quadratica?
Si possono sostituire le radici nell’equazione iniziale oppure usare le relazioni di Viète: la somma delle radici deve essere $-\frac{b}{a}$ e il prodotto $\frac{c}{a}$. Questi controlli permettono di individuare rapidamente errori di segno o di calcolo.
Quando conviene scomporre il trinomio?
Conviene quando il trinomio ha fattori facilmente riconoscibili o radici intere semplici. Scrivendo il polinomio come prodotto di due binomi si applica direttamente la legge di annullamento del prodotto. La scomposizione può essere più rapida della formula e rende visibili le radici.