Retta
Gli esercizi sulla retta permettono di collegare equazioni e geometria nel piano cartesiano. In questa pagina trovi attività guidate su coefficiente angolare, equazioni esplicite e implicite, rette passanti per punti, parallelismo, perpendicolarità e intersezioni.
La difficoltà consiste nel scegliere la forma più utile dell’equazione e interpretare correttamente i coefficienti. Gli esercizi svolti mostrano come impostare i dati, risolvere i sistemi e controllare il risultato attraverso il grafico.
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Cosa si studia negli esercizi sulla retta
Una retta nel piano può essere descritta in forma implicita ax+by+c=0 oppure, quando non è verticale, in forma esplicita y=mx+q. Il coefficiente m indica l’inclinazione, mentre q rappresenta l’intercetta sull’asse y.
Gli esercizi includono rette determinate da punti o condizioni geometriche, distanze e posizioni reciproche.
- equazione esplicita e implicita
- coefficiente angolare
- retta passante per un punto
- retta per due punti
- rette parallele e perpendicolari
- intersezione tra rette
- distanza punto-retta e fasci di rette
Esercizio 1 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Disegna il grafico della seguente funzione
$$4x-3y-9=0$$Esercizio 2 (Gratis)
Difficoltà ★☆☆
Determina per quale valore di $a$ il punto $P(a+1;-a)$ appartiene alla retta di equazione $x+2y-1=0$.
Difficoltà ★☆☆
Determina per quali valordi di $k$ la retta di equazione $(k-2)x-ky+k-3 = 0$
- è parallela all’asse $x$;
- è parallela all’asse $y$;
- passa per il punto $P(-1;-1)$.
Difficoltà ★☆☆
Determina per quali valordi di $k$ la retta di equazione $(2k+1)x-(k-3)y+2 = 0$
- è parallela all’asse $x$;
- è parallela alla retta di equazione $2x-3y=0$;
- è perpendicolare alla retta di equazione $3x-y=0$.
Difficoltà ★☆☆
Determina per quali valordi di $k$ la retta di equazione $2x-(k-2)y+2 = 0$
- passa per il punto $P(2;3)$;
- è parallela all’asse $x$;
- è perpendicolare all’asse $x$;
- è parallela alla retta di equazione $2x+y-1=0$;
- è perpendicolare alla retta di equazione $2x-3y=0$.
Difficoltà ★☆☆
Scrivi l’equazione della retta, passante per il punto di intersezione delle rette di equazioni $y = x-1$ e $y = 2x$, parallela alla retta di equazione $6x+2y-1=0$.
Difficoltà ★☆☆
Scrivi le equazioni delle rette che contengono i lati del quadrilatero di vertici $A(-1;2), B(3;-4), C(3;0), D(0;5)$. Si tratta di un trapezio?
Difficoltà ★☆☆
Determina il punto $P$ di intersezione tra la bisettrice del secondo-quarto quadrante e l’asse del segmento di estremi $A(4;2)$ e $B(0;4)$.
Difficoltà ★☆☆
Scrivi l’equazione della retta $r$ passante per il punto $P(-2;0)$ e parallela alla retta $s$ di equazione $6x-8y+3=0$. Determina quindi la distanza fra $r$ ed $s$.
Difficoltà ★☆☆
Dati i punti $A(-3;2)$ e $M\left(\frac{1}{2};-\frac{3}{2}\right)$ determina
- il punto $B$ tale che $M$ sia il punto medio di $AB$;
- l’equazione dell’asse di $AB$ e il suo punto $C$ di intersezione con l’asse $x$;
- l’area del triangolo $ABC$.
Difficoltà ★☆☆
Un fornaio produce biscotti con una capacità di produzione massima giornaliera di $80$kg. Per la produzione sostiene una spesa fissa giornaliera di $60$ euro, più una spesa di $0,60$ euro per ogni kg di biscotti prodotti. I biscotti vengono venduti a $2,40$ euro/kg. Determina la fuzione $y$ che esprime l’utile giornaliero in funzione della quantità $x$ prodotta (in kg), supponendo che tutta la quantità prodotta venga venduta. Determina quanti kg di biscotti devono essere prodotti ogni giorno per essere in pareggio (nè perdita nè utile). Determina quanti kg di biscotti devono essere prodotti ogni giorno per ottenere il massimo utile e il valore di tale utile.
Difficoltà ★☆☆
Un fabbrica deve scegliere se produrre:
- un tessuto $A$ che richiede costi fissi giornalieri di $1.000$ euro e fornisce un ricavo di $10$ euro per metro di tessuto;
- un tessuto $B$ che richiede costi fissi giornalieri di $2.000$ euro e fornisce un ricavo di $15$ euro per metro di tessuto.
Determina, al variare dei metri di tessuto che la fabbrica intende produrre al giorno, la produzione più conveniente.
Difficoltà ★★☆
Due società di noleggio d’auto praticano le seguenti tariffe:
- A: un forfait di $25$ euro, a cui di deve aggiungere $0,50$ euro per ogni km percorso;
- B: un forfait di $50$ euro fino a $80$km percorsi, a cui si deve aggiungere $1$ euro per ogni km percorso oltre gli $80$km.
Stabilisci qual è il preventivo più conveniente, in base al numero di km percorsi.
Difficoltà ★★☆
Dato il fascio proprio di rette di equazione $x+(k-2)y+k+1=0$, determina centro e generatrici. Determina poi per quali valori di $k$ si ottengono rette la cui distanza dall’origine è $3$.
Difficoltà ★★☆
Nel fascio improprio avente come retta base la retta $r:y=2x$, determina la retta che interseca gli assi cartesiani in due punti $A$ e $B$ tali che il punto medio di $AB$ appartenga alla retta di equazione $4x-2y+1=0$.
Come affrontare gli esercizi sulla retta
Per scegliere il metodo conviene individuare subito quali dati sono noti.
- trasformare l’equazione nella forma più comoda;
- calcolare il coefficiente angolare da due punti;
- usare la formula punto-pendenza;
- confrontare i coefficienti per parallelismo e perpendicolarità;
- risolvere un sistema per trovare l’intersezione;
- controllare se la retta è verticale;
- verificare il passaggio per i punti assegnati.
Gli errori più comuni sono invertire le differenze nel coefficiente angolare, usare la formula esplicita per una retta verticale e confondere la condizione di perpendicolarità.
Esercizi sulla retta svolti passo passo
Gli svolgimenti mostrano come tradurre una condizione geometrica in un’equazione. Questo rende più chiaro il ruolo dei coefficienti e dei sistemi.
Vedere tutti i passaggi aiuta a gestire rette verticali, forme equivalenti e problemi con più condizioni.
La pratica prepara agli esercizi con parabole, circonferenze e altre coniche.
A chi sono utili questi esercizi?
Sono utili a chi deve recuperare piano cartesiano e sistemi o conosce le formule ma non sa quando usarle.
Sono indicati per verifiche e studio autonomo, con esercizi dal livello base ai problemi di geometria analitica.
Parti dai dati e scegli la forma giusta
Prova gli esercizi gratuiti rappresentando i punti e controllando l’inclinazione.
Nel percorso completo trovi rette per punti, parallelismo, perpendicolarità e problemi con sistemi.
FAQ
Come si trova l’equazione di una retta passante per un punto?
Se si conoscono il punto (x0,y0) e il coefficiente angolare m, si usa y-y0=m(x-x0). Dopo lo sviluppo si può trasformare l’equazione in forma esplicita o implicita.
Come si calcola il coefficiente angolare da due punti?
Si calcola il rapporto (y2-y1)/(x2-x1), purché le ascisse siano diverse. È importante mantenere lo stesso ordine nelle differenze. Se x2=x1, la retta è verticale e il coefficiente angolare non è definito.
Quando due rette sono parallele?
Due rette non verticali sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. Se hanno anche la stessa intercetta coincidono; se le intercette sono diverse sono parallele distinte.
Quando due rette sono perpendicolari?
Per rette non verticali e non orizzontali, i coefficienti angolari hanno prodotto -1. Una retta verticale è perpendicolare a una retta orizzontale.
Come si trova il punto di intersezione tra due rette?
Si mettono a sistema le due equazioni e si risolve il sistema nelle incognite x e y. Una soluzione indica un punto di intersezione; nessuna soluzione indica rette parallele; infinite soluzioni indicano rette coincidenti.
Qual è la differenza tra forma esplicita e implicita?
La forma esplicita y=mx+q rende immediati coefficiente angolare e intercetta. La forma implicita ax+by+c=0 comprende anche le rette verticali ed è spesso più comoda nei problemi generali.